Man kann sofort sehen, dass Dein Taylorpolynom aus b) nicht stimmen kann: $f$ ist eine gerade Funktion, so dass in der Taylorentwicklung nur gerade Exponenten auftreten können. Rechne das nochmal nach, alle(!) Summanden.
Dann geht die Grenzwertberechnung auch sehr schön durch und liefert eine richtige Zahl.
Ergänzung: Und Du darfst auch nicht einfach $f$ durch sein Taylorpolynom ersetzen, sondern nur z.B. durch Taylorpolynom $+ O(x^{...})$.