Bestimmtes Integral Beweis

Aufrufe: 44     Aktiv: 13.05.2021 um 16:40

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Aufgabe:

Seien \(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) und \(g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) integrierbar.
Beweisen Sie folgende Aussage:
\(\forall x \in [a, b]: f(x) \le g(x) \implies \int_a^bf(x) dx  \le  \int_a^b g(x)dx\)


Frage:
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man das beweisen könnte?
gefragt

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1 Antwort
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Mit der Linearität des Integrals gilt $$\int_a^bf(x)\,\mathrm dx\leq\int_a^bg(x)\,\mathrm dx\Longleftrightarrow\int_a^b(g(x)-f(x))\,\mathrm dx\geq 0.$$ Es genügt also zu zeigen, dass für eine integrierbare Funktion \(h:[a,b]\to\mathbb R\) mit \(h\geq0\) stets \(\int_a^bh(x)\,\mathrm dx\geq0\) gilt. Das sollte aber klar sein, da die Treppenfunktion/Elementarfunktion (je nachdem, ob du über ein Riemann- oder Lebesgue-Integral sprichst) \(\kappa:[a,b]\to\mathbb R,x\mapsto 0\) eine untere Schranke an den Wert des Integrals liefert.
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