Mit der Linearität des Integrals gilt $$\int_a^bf(x)\,\mathrm dx\leq\int_a^bg(x)\,\mathrm dx\Longleftrightarrow\int_a^b(g(x)-f(x))\,\mathrm dx\geq 0.$$ Es genügt also zu zeigen, dass für eine integrierbare Funktion \(h:[a,b]\to\mathbb R\) mit \(h\geq0\) stets \(\int_a^bh(x)\,\mathrm dx\geq0\) gilt. Das sollte aber klar sein, da die Treppenfunktion/Elementarfunktion (je nachdem, ob du über ein Riemann- oder Lebesgue-Integral sprichst) \(\kappa:[a,b]\to\mathbb R,x\mapsto 0\) eine untere Schranke an den Wert des Integrals liefert.