Question

Fragen zu Konfidenzintervallen

Erste Frage Aufrufe: 1565 Aktiv: 28.02.2020 um 17:38

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Kann mir jemand bei diesen Fragen helfen? Man muss erklären, ob die Aussagen wahr oder falsch sind.

a) Je kleiner der Umfang einer Stichprobe ist, desto größer wird das Vertrauensintervall für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit

b) Wenn man zu einer beobachteten relativen Häufigkeit das Vertrauensintervall bestimmt, so weiß man, dass auch die zugehörige unbekannte Wahrscheinlichkeit eine Zahl aus diesem Intervall ist

c) Das 90% Vertrauensintervall ist bei der selben Stichprobe kleiner als das 95 % Vertrauensintervall

d) Je höher das Vertrauensniveau, umso weniger genau kennt man die unbekannte Wahrscheinlichkeit

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gefragt 27.02.2020 um 20:15

predatqrrr
Punkte: 10

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2 Antworten

el_stefano · Answer 1 · 2020-02-28T15:42:46Z

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Was genau waren denn bisher deine Ansätze zum Beantworten der Fragen? Hast du denn ein grundlegendes Verständnis was ein Konfidenzintervall ist? Konfidenzintervalle sind Intervallschätzungen für einen unbekannten Parameter. Während beispielsweise der Mittelwert einen Punktschätzer für einen unbekannten Parameter angibt, gibt ein Konfidenzintervall einen Bereich an, in dem sich der tatsächliche Wert des unbekannten Parameters mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit/Signifikanz befindet. Deshalb sprichst du ja bereits in deiner Aufgabe von 90% und 95% Konfidenzintervallen. Deshalb fließen in die Bestimmung des Konfidenzintervalls auch die Quantile der entsprechenden Verteilung ein, die dann auch neben anderen Werten (z.B. Mittelwert, Varianz) die Lage und Größe eines solchen Konfidenzintervalls bestimmen. Das Quantil ist wiederum abhängig von der Wahrscheinlichkeit, dass der Parameter im Intervall liegt. Hast du denn eine bestimmte zugrunde liegende Verteilung? Kennst du dich mit den genannten Begriffen aus und weißt, wie man ein Konfidenzintervall konstruiert? Denn anhand der grundlegenden Formel, abgeleitet aus der oben beschriebenen Wahrscheinlichkeit des Parameters innerhalb des Konfidenzintervalls zu liegen, lassen sich denn auch Aussagen wie etwa Größe und Lage des Intervalls beantworten.

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geantwortet 28.02.2020 um 15:42

el_stefano
M.Sc., Punkte: 6.68K

Ja das grundlegende verstehe ich, ich kann ja meine Vermutungen äußern. Und es ist keine Verteilung vorgegeben, aber denke mal man kann von einer Binomialverteilung ausgehen, die auch näherunsweise normalverteilt ist, also die LPB erfüllt ist. Und ich weiß nicht, was das Quantil ist, ist das wichtig für die Begründungen?

a) Ist glaube ich richtig, weil da eine 1/wuzel n - Abhängigkeit besteht. Die Länge des Konfidenzintervalls definiert sich ja durch: l(n)=2*InvNorm(1-alpha/2)/wurzel n * wuzel h (1-h). Wenn man nun das n vergrößert, wird das Konfidenzinteravall kleiner. z.b. l(2n) wäre dann 1/wurzel 2 l(n), l(4n) wäre 1/2 l(n). Andersherum heißt es dann ja, wenn n kleiner wird, sollte dann ja das Konfidenzintervall größer werden.

b) Wenn man ein Konfidenzintervall bestimmen möchte, schaut man sich ja erstmal die relative Häufigkeit h an. Diese bildet man ja durch k/n. Wenn das Ergebnis des Versuchs zufällig im Verwerfungsbereich landet, dann muss ja die unbekannte "wirkliche" Wahrscheinlichkeit nicht im Konfidenzintervall sein, weil wir ja unser Konfidenzintervall auf der Basis der relativen Häufigkeit bilden, die ja nicht bei jedem Versuch gleich ist. Es kann ja sein, dass das Ergebnis und damit die relative Häufigkeit sehr stark von der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit abweicht. Heißt also, dass das unbekannte p nicht eine Zahl aus diesem Intervall sein muss. Daher sollte die Aussage falsch sein.

c) Das sollte richtig sein, weil zur Bestimmung des 95% Intervalls die Verteilung sozusagen weiter durch das Stichprobenergebnis k durchgeschoben werden muss (damit wir pmax und pmin bestimmen können), als bei beim 90% Intervall

d) Hier bin ich mir nicht sicher, ist mit Vertrauensniveau die Wahrscheinlichkeit für das Konfidenzintervall gemeint? Wenn ja, dann würde ich dem so zustimmen, aber eig. kann man ja niemals die "wirkliche" Wahrscheinlichkeit kennen...

Ja das grundlegende verstehe ich, ich kann ja meine Vermutungen äußern. Und es ist keine Verteilung vorgegeben, aber denke mal man kann von einer Binomialverteilung ausgehen, die auch näherunsweise normalverteilt ist, also die LPB erfüllt ist. Und ich weiß nicht, was das Quantil ist, ist das wichtig für die Begründungen?

a) Ist glaube ich richtig, weil da eine 1/wuzel n - Abhängigkeit besteht. Die Länge des Konfidenzintervalls definiert sich ja durch: l(n)=2*InvNorm(1-alpha/2)/wurzel n * wuzel h (1-h). Wenn man nun das n vergrößert, wird das Konfidenzinteravall kleiner. z.b. l(2n) wäre dann 1/wurzel 2 l(n), l(4n) wäre 1/2 l(n). Andersherum heißt es dann ja, wenn n kleiner wird, sollte dann ja das Konfidenzintervall größer werden.

b) Wenn man ein Konfidenzintervall bestimmen möchte, schaut man sich ja erstmal die relative Häufigkeit h an. Diese bildet man ja durch k/n. Wenn das Ergebnis des Versuchs zufällig im Verwerfungsbereich landet, dann muss ja die unbekannte "wirkliche" Wahrscheinlichkeit nicht im Konfidenzintervall sein, weil wir ja unser Konfidenzintervall auf der Basis der relativen Häufigkeit bilden, die ja nicht bei jedem Versuch gleich ist. Es kann ja sein, dass das Ergebnis und damit die relative Häufigkeit sehr stark von der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit abweicht. Heißt also, dass das unbekannte p nicht  eine Zahl aus diesem Intervall sein muss. Daher sollte die Aussage falsch sein.

c) Das sollte richtig sein, weil zur Bestimmung des 95% Intervalls die Verteilung sozusagen weiter durch das Stichprobenergebnis k durchgeschoben werden muss (damit wir pmax und pmin bestimmen können), als bei beim 90% Intervall

d) Hier bin ich mir nicht sicher, ist mit Vertrauensniveau die Wahrscheinlichkeit für das Konfidenzintervall gemeint? Wenn ja, dann würde ich dem so zustimmen, aber eig. kann man ja niemals die "wirkliche" Wahrscheinlichkeit kennen...

─ predatqrrr 28.02.2020 um 17:02

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mathematinski · Answer 2 · 2020-02-28T16:25:26Z

Ist \( h_n \) die in der Stichprobe vom Umfang n ermittelte relative Häufigkeit, dann reicht (in der vereinfachten Variante) das Konfidenzintervall - je nach vorgegebenem Konfidenznievau - von

\( h_n - c \cdot \sqrt{ \frac {h_n\cdot (1 - h_n)} {n} } \)

bis

\( h_n + c \cdot \sqrt{ \frac {h_n\cdot (1 - h_n)} {n} } \)

Die Größe der Konstante c hängt vom gewählten Konfidenzniveau \( \alpha \) ab. (Es legt fest, mit welcher Wahrscheinlichkeit die unbekannte Wahrscheinlichkeit p in dem berechneten Konfidenzintervall liegen soll.) Für \( \alpha = 0,9 \) gilt c \( \approx \) 1,64 und für \( \alpha = 0,95 \) gilt c \( \approx \) 1,96. Für \( \alpha = 0,99 \) gilt c \( \approx \) 2,58.

Hiermit lassen sich nun alle deine Fragen beantworten:

a) Da der Stichprobenumfang im Nenner der Intervallgrenzen steht, wird (bei festem Konfidenzniveau) der Bruch und somit auch die Wurzel größer, wenn n kleiner wird. Da die Breite des Konfidenzintervalls proportional zu dieser Wurzel ist, stimmt die Aussage somit.

b) Die Aussage ist falsch. Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit kann in dem Intervall drin liegen oder auch nicht. Man kann lediglich mit einem größeren Konfidenzniveau dafür sorgen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass man den richtigen Wert für p "erwischt", entsprechend groß ist. Es bleibt aber immer eine Restunsicherheit, dass das tatsächliche p außerhalb des KI liegt.

c) Die Aussage c) ist korrekt. Der Faktor c für das 90%-KI ist 1,64 und somit kleiner als der Faktor 1,96 des 95%-KI. Da sich die Breite aus der Differenz der beiden Grenzen des KI errechnet, ist das 95%-KI somit \( 1,96 / 1,64 \approx 1,195 \) mal breiter als das 90%-KI.

d) Diese Aussage stimmt. Je höher die Sicherheit sein soll, dass das richtige p in dem berechneten KI liegen soll, desto größer muss die Konstante c sein, wodurch das KI immer breiter wird.

Gruß, Mathematinski