Definitionsbereich einer Sprungfunktion

Erste Frage Aufrufe: 447     Aktiv: 01.02.2021 um 13:29
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Wie in der Angabe beschrieben soll man hier den Definitionsbereich und die stetige Fortsetzung prüfen. Meine Frage bezieht sich auf den punkt a). Der erste Teil der Funktion ist ja bei x = - 5 nicht definiert, aber der zweite Teil ist ja bei x =1 nicht definiert. Ab x = 1 soll doch  aber die Funktion weitergehen. Ist die Funktion nun bei x = 1 definiert oder nicht?

Danke im Voraus

Lg Alex
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Du hast recht, deine untere Funktion ist für \(x=1\) nicht definiert. Dies liegt aber nur daran, das die untere Funktion der stückweise definierten Funktion für \(x\geq 1\) erklärt ist. Wäre die Grenze \(x=1\) anders herum gewählt, also die obere Funktion für \(x\leq 1\) und die untere Funktion für \(x>1\) erklärt, dann würde die stückweise definierte Funktion \(f(x)\) auch keine Definitionslücke bei \(x=1\) besitzen. In deinem Fall aber ist \(x=1\) eine Definitionslücke.

Hoffe das hilft weiter.
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Und wie wirkt sich das dann bei b) auf die Stetigkeit aus? Mein Ansatz wäre sich von beiden Seiten 1 anzunähern und zu schauen ob das gleiche rauskommt.   ─   agp.lange 01.02.2021 um 12:44
Du musst \(\alpha\) und \(\beta\) jeweils so finden, dass „\(\frac{0}{0}\)“ herauskommt. Für die nötigen Funktionswerte: bei \(x=-5\) hast du in der oberen Funktion eine hebbare Lücke. Schreibe dafür die Funktion im Nenner mit Linearfaktoren. Im Zähler machst du dann eine Polynomdivision mit \((x+5)\) und kürzt dann die Nullstelle raus. Dann kannst du den Funktionswert bei \(x=-5\) ermitteln. Für den Funktionswert bei \(x=1\) würde ich den linksseitigen Grenzwert gegen 1 betrachten, wenn die Funktion \(g\) auf ganz \(\mathbb{R}\) stetig sein soll.   ─   maqu 01.02.2021 um 13:29

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