Transitivitätsgesetz bei Konvergenzen

Aufrufe: 510     Aktiv: 02.12.2021 um 12:29
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Hi, ich hätte eine Frage, darf man bei Konvergenzen das Transitivitätsgesetz benutzn?
Beispielsweise habe ich b->a und c-b->0, also gilt auch c->a ? Weil man kann die zweite konvergenz ja umschreiben in c->b  
dann hätte man ja c->b und b->a also gilt auch c->a??
kann man das für einen beweis benutzn?

EDIT vom 30.11.2021 um 17:52:

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Punkte: 35

 
Für mich ergibt diese Frage relativ wenig Sinn. Was sollen denn a, b und c sein? Zahlen oder Folgen?   ─   42 30.11.2021 um 16:52
Wenn das Teil einer Aufgabe ist, dann wäre der Aufgabentext im Original wahrscheinlich sehr hilfreich.   ─   42 30.11.2021 um 16:53
Ouh ja das sind folgen, sorry, und ich soll eben zeigen, dass das folgende gilt:
Es gilt b->a und c-b->0, dann konvergiert auch c->a
Und ich hätte das wie oben probiert, also mit dem transitivitäts gesetz   ─   pleasehelp 30.11.2021 um 17:19
Aber a kann doch keine Folge sein. a ist der Grenzwert von b und muss somit eine Zahl sein.   ─   42 30.11.2021 um 17:24
Außerdem: Wenn b und c Folgen sind, dann macht ein Ausdruck wie c -> b überhaupt keinen Sinn, weil eine Folge nicht gegen eine Folge konvergieren kann.   ─   42 30.11.2021 um 17:25
Ok, ich schreibs nochmal auf:
b,c sind folgen und a ist eine zahl, also der Grenzwert;
Es gilt b->a und c-b>0 , also konvergiert ebenso c->a!
Tut mir leid, hoff jz hab ich mich richtig ausgedrückt!

   ─   pleasehelp 30.11.2021 um 17:32
Okay, dann sollte dir jetzt hoffentlich auffallen, dass deine Herangehensweise nicht klappt, denn wenn b und c Folgen sind, dann kann nicht c -> b gelten.   ─   42 30.11.2021 um 17:34
Ja hab es falsch aufgenommen   ─   pleasehelp 30.11.2021 um 17:41
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2 Antworten
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Hallo pleasehelp,

wisst ihr schon, wie sich Summen konvergenter Folgen verhalten?
Wenn ja, kannst du aus $b\to a$ und $c-b\to 0$ folgern: $b+(c-b)\to a+0$.
Durch Vereinfachen beider Seiten erhalten wir wie gewünscht direkt $c\to a$.

Viele Grüße
Tobias
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Nein haben wir leider noch nicht gemacht, danke für deine antwort   ─   pleasehelp 01.12.2021 um 08:05

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Du kannst \( \vert c_n - a \vert = \vert (c_n - b_n - 0) + (b_n - a) \vert \) schreiben. Verwende dann die Dreiecksungleichung. Bringt dich das schon weiter?
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Student, Punkte: 7.02K

 
Nein ich versteh schon gar nicht, wie du auf das da oben kommst   ─   pleasehelp 30.11.2021 um 17:41
Ok, mhhh ich hab jz mal etwas aufgeschrieben, ich glaub aber nixht, dass dus so gemeint hast oda? Ich habs zu meiner Fragestellung hinzugefügt, da mans so besser lesen kann   ─   pleasehelp 30.11.2021 um 17:50
Vielleicht anders: Was bedeutet denn b -> a und c-b -> 0. Schreib mal die Definitionen davon hin.   ─   42 30.11.2021 um 18:20
Naja, b -> a bedeutet, dass sich b a annähert, also umso größer b wird umso näher kommt es a, aber es wächst nie über a hinaus
Und genau das gleiche bei c-b, es nähert sich null, aber kommt nie ins negative   ─   pleasehelp 30.11.2021 um 18:31
Nein, das ist zu ungenau und stellenweise auch falsch. Du solltest hier die genaue Definition aus der Vorlesung verwenden. Im Idealfalle ist das eine Definition mit einem Epsilon.   ─   42 30.11.2021 um 18:36
Aso ich wusste nicht, ob du die genaue meinst oder nur in worten, ja die ist mit epsilon:) und die soll ich jz anwenden?   ─   pleasehelp 30.11.2021 um 18:57
Ja, genau. Wenn du b -> a und c-b -> 0 mit der Definition umschreibst, dann kommt dir vielleicht auch eine Idee. Wir haben ja schon \( \vert c_n - a \vert = \vert (c_n-b_n-0) + (b_n-a) \vert \le \vert c_n-b_n-0 \vert + \vert b_n-a \vert \).   ─   42 30.11.2021 um 19:03

Ok ich hab die definitionen jz hingeschrieben, und ich seh da jz eig nur, dass wir für bn->a nach der def. |bn-a| < epsilon und für
cn-bn->0 eben das selbe nur mit cn-bn-0
Aber ich kann jz ja nicht einfach hinschreiben, dass somit, dass was du oben geschriebn hast, also |cn-a| < epsilon ist und nach def. also folgt cn ->a oder??   ─   pleasehelp 30.11.2021 um 22:22
Was? Welche Antwort jz?   ─   pleasehelp 30.11.2021 um 22:49
Ich soll das einfach ausrechnen ja, dann komm ich auf cn-a   ─   pleasehelp 30.11.2021 um 23:00
Naja wenn man es mit der definition umschreibt, konvergiert cn-bn gege 0 und bn gegen a und somit würd dann ja 0+a stehen also folgt auch, dass cn gegen a konvergiert?   ─   pleasehelp 30.11.2021 um 23:40
Wenn man die letzte zeile vom anonym83bed oben nimmt und due definition anwendet, sind beide kleine epsilon, aber da die ja größer als cn-a sind fülgt ja das cn-a kleina als epsilon ist, meinst du das? Ich weiß das ich das was du gerade geschrieben hast aufgrund der definition zeigen soll, aber nicht, wie ichs aufschreiben soll   ─   pleasehelp 01.12.2021 um 08:17
Also, wir haben \( \vert c_n - a \vert \le \vert c_n - b_n - 0 \vert + \vert b_n - a \vert \) und wir wollen \( \vert c_n - a \vert < \varepsilon \) für alle \( n \ge N \). Dann wäre es natürlich schön, wenn \( \vert c_n - b_n - 0 \vert \) und \( \vert b_n - a \vert \) jeweils kleiner wären als \( \frac{\varepsilon}{2} \) für alle \( n \ge N\), denn dann wäre ja \( \vert c_n - a \vert \) \( \le \vert c_n - b_n - 0 \vert + \vert b_n - a \vert \) \( < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \). Gibt es denn ein \( N \) sodass \( \vert c_n - b_n - 0 \vert \) und \( \vert b_n - a \vert \) kleiner als \( \frac{\varepsilon}{2} \) für alle \( n \ge N \) sind?   ─   42 01.12.2021 um 12:33
cn-bn-0 < epsilon
<=>(cn-bn-0)/2 < epsilon/2 nur eben in betrag gesetzt und bei bn-a genau so?   ─   pleasehelp 01.12.2021 um 14:03
Es tut ma wirkli leid, wenn i mi blöd anstell, aber i komm halt wirkli nd drauf, wieso kann man nicht schreiben wenn die rechte seite kleiner als epsilon ist dann muss es die linke a sein?   ─   pleasehelp 02.12.2021 um 08:37
Aber das versteh ich nicht nach der definition ist sie kleiner als epsilon und da cn-bn-0 plus bn-a kleiner is, und ds größer, warum reicht das als beweis nicht? Oder meinst du weil, dass zusammen dann kleiner als 2epsilon ist?   ─   pleasehelp 02.12.2021 um 10:08
Die Sache ist die: Weil \( c_n - b_n \) gegen \( 0 \) konvergiert, gibt es ein \( N_1 \), sodass \( \vert c_n - b_n - 0 \vert < \frac{\varepsilon}{2} \) für alle \( n \ge N_1 \) ist. Und weil \( b_n \) gegen \( a \) konvergiert, gibt es ein \( N_2 \), sodass \( \vert b_n - a \vert < \frac{\varepsilon}{2} \) für alle \( n \ge N_2 \) ist. Und damit kann man dann folgern, dass \( \vert c_n - a \vert < \varepsilon \) für alle \( n \ge \max\{N_1,N_2\} \) ist.   ─   42 02.12.2021 um 11:33
Ahhh so war das gemeint, das is jz klar ja:) , danke ich werd das beispiek nochmal durcharbeitn von vorne bis hintn   ─   pleasehelp 02.12.2021 um 12:29

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