Gegeben eine kontinuierliche, normalverteilte Zufallsvariable X mit dem Erwartungswert \(E(X) = \mu = 2\) und der Standardabweichung \(\sigma = 2\). X kann in diesem Fall durch die allgemeine Normalverteilung \(f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} = \frac{1}{2 \sqrt{2\pi} } e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-2}{2}\right)^2} \) beschrieben werden.

Nun wird X standardisiert: \(Y = \frac{x-\mu}{\sigma}\). Y ist somit ebenfalls normalverteilt und hat einen Erwartungswert von 0 und eine Standardabweichung von 1. Dementsprechend wird die Verteilung von Y durch die Standardnormalverteilung \(\varphi(y) = \frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac 12 y^2}\) repräsentiert.

Müssten nach folgender Formel

\(f(x \mid \mu, \sigma^2) =\frac 1 \sigma \varphi\left(\frac{x-\mu} \sigma \right) =\frac 1 \sigma \varphi(y)\)

die obere und die untere Verteilung nicht den gleichen Mittelwert haben? Weshalb haben \(f(x)\) und \(\varphi(y)\) unterschiedliche Mittelwerte?