Hier hilft folgende Regel:
      Matrix mal i. Einheitsvektor = i. Spalte der Matrix

Für 2x2-Matrizen heißt das:
     \(A \left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right] = \mbox{1. Spalte von}\, A\)            
     \(A \left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right] = \mbox{2. Spalte von}\, A\)            

Hiermit kann man z.B. Aufgabe (c) lösen:
Wenn
   \(P \left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}b\\a\end{array}\right]\)
gilt, so muss das auch für die Einheitsvektoren gelten, also
   \(P \left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]\)
   \(P \left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]\)
Nach dem oben Gesagtem folgt hieraus
   \(\mbox{1. Spalte von}\, P = \left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]\)
   \(\mbox{2. Spalte von}\, P = \left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]\)
Also
   \( P = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right]\)

Bei (e) musst Du Dir überlegen, wie der Vektor \(\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]\) um 180° gedreht lautet. Hier hilft eine Zeichnung weiter.