Ich möchte ein paar Ansätze und Anregungen einbringen, auch wenn mein mathematisches Rüstzeug leider etwas eingerostet ist.

Zunächst einmal, betrachte dir den Graphen von ln(x+1): https://www.wolframalpha.com/input/?i=ln%28x%2B1%29

Ausgleichsgeraden - Ein Exkurs
Die Formel (ax + b - ln(x+1))² erinnert mich stark an die Aufgabe möglichst passende Ausgleichsgeraden zu zeichnen.
Da geht es nämlich um die Eigenschaft, die im Text auch verlangt wird. Eine gute Ausgleichsgerade sorgt dafür, dass sie über das Intervall, das wir betrachten, "möglichst nah am Funktionswert dran ist". Wir legen also eine Gerade über unsere "schwierige" Funktion (hier ln(x+1)).
Nach etwas rumspielen merkt man zum Beispiel, dass 0.7*x schon eine gute Näherung für ln(x+1) ist.
Siehe hier:https://www.wolframalpha.com/input/?i=ln%28x%2B1%29%2C+%280.7*x%2B0%29+in+%5B0%2C1%5D

Um etwas mathematischer zu werden: wir schauen uns jetzt im Intervall 0 bis 1 jeden Punkt unserer Gerade an und ermitteln die Differenz zur anderen Funktion. Also \( \int_0^1 ( g(x) - ln(x-1)) dx \).
Wenn wir jetzt alle Differenzen aufsummieren, dann merken wir, dass dies kein gutes Maß ist, um zu bestimmen, wie gut die Gerade an der Funktion anliegt, denn wenn die Gerade drunter liegt, haben wir positive Abweichung und wenn die Gerade drüber liegt, haben wir negative Abweichung.
Besser ist der Absolutwert. Allerdings geht man bei Approximationen noch ein Stück weiter und sagt: eine Ausgleichsgerade ist nicht gut, wenn sie zwar zu großen Teilen des Intervalls an der anderen Funktion eng anliegt, aber in manchen Teilen sehr stark abweicht. Daher sagt man: umso weiter ein Punkt von der Ausgleichsgerade von der Funktion abweicht, desto mehr soll er ins Gewicht fallen.
Daher nimmt man das Quadrat der Differenz zwischen Ausgleichsgerade und Funktion als Maß für eine gute Ausgleichsgerade.

Aber zurück zum Thema...

Gegeben hast du ein bestimmtes Integral F. Du hast zwei Parameter: a und b, welche das Resultat deines bestimmten Integrals F beeinflussen.
Wenn wir jetzt nur einen Parameter hätten, wäre die Sache klar: wir suchen das Minimum von F in Abhängigkeit des Parameters; sagen wir mal 'a'.
Das Minimum finden wir durch die Nullstellen der ersten Ableitung von F(a) abgleitet nach a.
Bevor wir uns überlegen, wie wir den zweiten Parameter mit einschließen können, schauen wir uns doch aber erstmal F als Funktion von zwei Parametern an: F(a,b):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+from+0+to+1+%28a*x+%2B+b+-+ln%28x%2B1%29%29%C2%B2+dx

In der Hoffnung, dass Wolframalpha das Integral sauber ausgerechnet hat, lassen wir uns das ganze mal plotten:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=a%5E2%2F3+%2B+a+%28-1%2F2+%2B+b%29+%2B+b%5E2+%2B+b+%282+-+4+log%282%29%29+%2B+2+%28-1+%2B+log%282%29%29%5E2&assumption=%22ClashPrefs%22+-%3E+%7B%22Math%22%7D

Wir sehen ein Funktionsgebirge, welches F mit den Parametern a und b darstellt. Hier wollen wir den Punkt finden, welcher am niedrigsten ist. Auch wenn die Darstellung etwas trügerisch sein kann, da nur ein Ausschnitt angezeigt wird, wissen wir zumindest aus der Funktion, dass keine negativen Funktionswerte herauskommen können, egal wie wir a und b wählen.

Mit einer anderen Webseite lässt sich das Anzeigeintervall wählen: https://www.monroecc.edu/faculty/paulseeburger/calcnsf/CalcPlot3D/

Mit a und b im Intervall [-20, 20] lässt sich erkennen, dass wir eine Art Schale haben. Wenn wir dort eine Kugel reinwerfen, kommt diese bei unseren gesuchten Werten für a und b zum stehen.
Ich glaube, hier sind nun partielle Ableitungen gefordert. Das ist leider für mich zu lange her. Ich hoffe, ich konnte dich ein Stück in die richtige Richtung bringen.