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Die erste zu zeigende Aussage \(f(y^{2^{-n}})=f(y)\) kann man sehr einfach mit vollständiger Induktion über \(n\) zeigen. Versuch das mal selbst. Für die zweite Aussage, dass \(f\) konstant ist, gebe ich dir auch noch einen Hinweis: Es gilt dann $$f(y)=\lim_{n\to\infty}f(y^{2^{-n}})\overset{\text{stetig}}=f\left(\lim_{n\to\infty}y^{2^{-n}}\right)=\ldots.$$
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stal
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Ich kann nicht ganz folgen. Eine Funktion \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) ist in einem Punkt \(x_0\in\mathbb R\) genau dann stetig, wenn $$\forall \varepsilon>0\exists\delta>0\forall x\in\mathbb R:|x-x_0|<\delta\Longrightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.$$ Man kann zeigen, dass dies dazu äquivalent ist, dass \(f\) im Punkt \(x_0\) folgenstetig ist, d.h. falls $$\forall (x_n)_{n\in\mathbb N}\subset\mathbb R:\lim_{n\to\infty}x_n=x_0\Longrightarrow\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0),$$ was man abkürzend auch als $$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$ schreibt. Die ersten beiden Formeln geben dir auch eine genaue Vorgehensweise. Im ersten Fall nimmst du ein beliebiges \(\varepsilon\), wählst ein passendes \(\delta\), nimmst ein beliebiges \(x\) mit \(|x-x_0|<\delta\) und zeigst dann \(|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\). Im zweiten Fall nimmst du dir eine beliebige Folge, die gegen \(x_0\) konvergiert, und zeigst dann, dass \((f(x_n))_n\) gegen \(f(x_0)\) konvergiert. Da das nichts mit deiner ursprünglichen Frage zu tun hat, stelle am besten eine neue Frage, in der du ausführlicher, am besten mit Beispiel, erklärst, was du meinst.
─
stal
28.01.2021 um 13:55
ok die induktion habe ich endlich
wie soll ich mit dem konstanten weitermachen ?
─ videl 28.01.2021 um 21:32
wie soll ich mit dem konstanten weitermachen ?
─ videl 28.01.2021 um 21:32
Kannst du die Gleichung, die ich in meiner Antwort hingeschrieben habe, verfollständigen? Was ist \(\lim_{n\to\infty}y^{2^{-n}}\)?
─
stal
29.01.2021 um 09:18
ach okay, ich habs
vielen dank für die Hilfe ─ videl 29.01.2021 um 18:45
vielen dank für die Hilfe ─ videl 29.01.2021 um 18:45
wenn man die stetigkeit zeigen möchte und zB gegeben hat x0 e(0,1) und eine Funktion f(x).
das ziel ist es ja zu zeigen, dass f(x)=f(x0) .
wie würde ich das dann zeigen ? ─ videl 28.01.2021 um 13:44