Untersuchen Sie, welche der folgenden Mengen Untervektorräume von R^2 sind.

Erste Frage Aufrufe: 74     Aktiv: 26.04.2024 um 08:51

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Untersuchen Sie, welche der folgenden Mengen Untervektorräume von R^2
sind.
i) U1 = { (x, y) ∈ R^2| y = x^2 }
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crosspost mit mathelounge. Lies im dortigen FAQ, warum das nicht erwünscht ist.
Hier gibt's auch keinen anderen Tipp als dort. Also, leg los.
  ─   mikn 24.04.2024 um 21:44
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Für einen Untervektorraum muss gelten $$(x_1,y_1),(x_2,y_2) \in U_1 \implies  (x_1+x_2,y_1+y_2) \in U_1$$.

Sprich ein Untervektorraum ist abgeschlossen unter (Vektor)addition. Diese Menge ist KEIN Unterraum (anschaulich: $y^2$ is nicht-linear) und daher nehmen wir $(x_1,y_1)=(1,1)$, da $1=1^2$ und damit wir noch einen unterschiedlichen Punkt haben $(x_2,y_2)=(2,4)$, da $4=2^2$. Dann haben wir

$$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(1,1)+(2,4)=(3,5).$$

Nun haben wir aber $3^2=9 \neq 5$ und somit $(x_1+x_2,y_1+y_2) \notin U_1$. Damit kein $U_1$ auch kein Untervektorraum sein.

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