Quadratische Funktionen/Nullstellen berechnen

Aufrufe: 561     Aktiv: 16.01.2022 um 15:47

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Hallo

Ich habe eine Frage zu quadratischen Funktionen und Nullstellen der Parabeln berechnen.

Wenn f(x) = x² -2x -63 ist, haben wir das folgende Vorgehen gelernt:
0 = (x-9) (x+7)
x= 9 oder -7. Also sind die Nullstellen bei (-7|0) und (9|0).

Wie berechne ich nun die Nullstellen wenn die Funktion so aussieht? Also mit negativem Vorzeichen? :
f(x) = -x² + 3x -2

Vielen Dank im Voraus
gefragt

Schüler, Punkte: 30

 

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so ganz verständlich ist mir die Beschreibung des Vorgehens nicht. Du beschreibst das so, als würde dich ERST die Darstellung mittels Linearfaktoren zur Lösung führen. Dabei benötigst du zunächst die Lösung (die du mit einer der Lösungsformeln oder dem Satz von Vieta ermittelst) um die Klammerform aufstellen zu können, also hast du die Lösungen doch bereits vorher vorliegen. ???   ─   honda 16.01.2022 um 12:52

Danke für die Nachricht. Die Lösungsformeln und den Satz von Vieta kenne ich aus dem Unterricht nicht, daher das etwas "spezielle" Vorgehen... die Lösung habe ich jedenfalls gefunden.   ─   kurzefrage.8 16.01.2022 um 12:59

unter Lösungsformel hatte ich pq oder abc Forme zusammengefasstl,
erstere kanntest du ja (siehe Antwort unten).
Daher steht meine Frage immer noch im Raum, da ich mir nicht vorstellen kann, dass ihr im Unterricht ein "neues" Verfahren mit Linearfaktoren gelernt habt. Und falls doch, würde es mich (und sicher ganz viele hier) brennend interessieren ;)
  ─   honda 16.01.2022 um 13:07

Man kann eine Lösung finden / erraten und dann eine Polynomdivision machen. Vielleicht sind sie so auf die beiden Lösungen gekommen. Es gibt dann auch noch die quadratische Ergänzung.   ─   lernspass 16.01.2022 um 13:13

Leider kann ich kein neues Lösungsverfahren "bieten", wir haben nämlich tatsächlich bisher ohne Formeln gearbeitet, die pq Formel kenne ich nur aus dem Internet...wir haben das Thema Nullstellen auch nur am Rande gestreift und das Einzige was wir als Vorgang mitbekommen haben ist, die Gleichung = 0 zu setzen und mit Linearfaktoren aufzulösen... vielen Dank für die Anregung

  ─   kurzefrage.8 16.01.2022 um 13:17

Und die müsst ihr dann erraten? Das ist wirklich etwas wenig. :((   ─   lernspass 16.01.2022 um 13:19

stimmt, mit Ratelösung und PD hätte man dann die Linearfaktoren gleich. Aber quadratische Ergänzung liefert zunächst auch die Lösungen.
Mir geht es um das Vorgehen, das zunächst die LF Darstellung liefert, aus der man dann die Lösung ablesen kann. Und falls das als Lösungsweg angewendet wird, wäre ja die Idee, Lösungen zuerst auszurechnen, nicht konform
  ─   honda 16.01.2022 um 13:20

Ja, danke, bin derselben Meinung :(

Aber bin froh gibt es diese Plattform mit kompetenten Antworten von euch :D
  ─   kurzefrage.8 16.01.2022 um 13:21

jetzt war ich mit meinem Kommi zu spät. Interessieren würde mich (außer an welcher Schule man so vorgeht ;) noch, wie ihr das mit der Auflösung mit LF gelernt habt. Das klappt nämlich nur mit ausgewählten Zahlenkombinationen (und wirft in mir die Frage nach der Kompetenz der Lehrperson auf)

  ─   honda 16.01.2022 um 13:24

Vielleicht liegt ja hier auch nicht der Fokus auf den Nullstellen, sondern darauf, dass man, wenn man die Nullstellen schon bestimmt hat, die Funktion in ihre Linearfaktor zerlegt. Ich habe dazu noch meine Antwort kommentiert und ein Video verlinkt.   ─   lernspass 16.01.2022 um 13:29

für die Zerlegung würde man dann aber nicht =0 setzen (wie kommentiert) und müsste auch die -1 belassen (siehe unten), in sich ist das alles leider nicht konsistent.   ─   honda 16.01.2022 um 13:40

@honda: Ich gehe an das Gymnasium Solothurn (Schweiz). Als Auflösung der LF haben wir zwar die Polynomdivision gelernt, doch das liegt schon länger zurück und wir benutzen die Polynomdivision "im Alltag" nicht, sondern erraten die LF. Also so: (x+-...) (x+-...) muss bspw. x² -2x -63 ergeben, d.h. die beiden Zahlen addiert müssen -2x und die beiden Zahlen multipliziert müssen -63 ergeben.   ─   kurzefrage.8 16.01.2022 um 13:41

@ lernspass: Vielen Dank für den Kommentar und das Video, habs angeschaut, hat mir geholfen   ─   kurzefrage.8 16.01.2022 um 13:43

Bei euch in der Schule geht einiges Durcheinander. Die Gleichung muss man 0 setzen um die Nullstellen zu bestimmen. Wenn man die Nullstellen kennt, kann man die Linearfaktorzerlegung hinschreiben. Bei der Suche nach den Nullstellen darf man die Gleichung umformen. Bei der Zerlegung in Linearfaktoren muss man ausklammern.   ─   lernspass 16.01.2022 um 13:45

damit haben wir des Rätsels Lösung doch noch gefunden ;), unter dem Namen Satz von Vieta bekannt. Das ist eine legitime und vor allem schnelle Vorgehensweise, die aber nicht immer funktioniert, aber wenn es ganzzahlige Lösungen gibt, sind sie tatsächlich Teiler des Absolutgliedes. Allerdings müssen die Lösungen addiert +2 ergeben. Kannst es ja jetzt noch einmal mit dieser Methode versuchen.   ─   honda 16.01.2022 um 13:49

@lernspass Das ist leider so...danke für die Erklärung und einen schönen Nachmittag   ─   kurzefrage.8 16.01.2022 um 13:50

Wünsche ich dir auch.   ─   lernspass 16.01.2022 um 13:54

@honda Danke für den Hinweis   ─   kurzefrage.8 16.01.2022 um 13:54

Mir ist übrigens wieder eingefallen, dass ich das in der Schule auch noch so gelernt habe. Wenn du eine normierte quadratische Funktion ($x^2$ ohne Vorzeichen, ohne Vorfaktor) hast, dann kannst du durch scharfes Hinsehen die Zahlen finden, die multipliziert das konstante Glied ergeben und addiert die Zahl vor dem x. Und diese Zahlen schreibst du dann in die Klammern mit ihren Vorzeichen. In deinem 1. Beispiel wäre das die -9 und die 7, weil $-9 \cdot 7=-63$ und $-9+7=-2$.

Im Satz von Vieta steht das auch drin: Sind $x_1$ und $x_2$ Lösungen einer normierten quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$, dann gilt: (1) $x_1+x_2=-p$ und (2) $x_1\cdot x_2=q$. Hier ist das mathematisch korrekt ausgeschrieben, aber einfacher fand ich es immer, wenn man sich die Zahlen halt angesehen hat, die Teiler gesucht hat und dann noch mit den Vorzeichen und der Summe jongliert hat.
  ─   lernspass 16.01.2022 um 15:34

ooooh, man lernt doch nie aus, was an Schulen so alles gelehrt wurde und wird ;)   ─   honda 16.01.2022 um 15:47
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1 Antwort
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Am besten teilst du die Funktion durch (-1). Du suchst ja die Lösung der Gleichung $-x^2+3x-2=0$. Und diese Gleichung darfst du auch umformen.

Wenn du die pq Formel nutzen willst, musst du die Gleichung eh immer erst normieren, also so umformen, dass du $x^2$ darin stehen hast und nicht z.B. $2x^2$.
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Hat geklappt, vielen Dank!! Hätte nicht gedacht dass die Lösung so simpel ist :D

Und danke für den Tipp mit der pq Formel!
  ─   kurzefrage.8 16.01.2022 um 12:32

Bitte dem Helfer ein Haken geben. Weil sich die Helfer extra Zeit nehmen.   ─   ceko 16.01.2022 um 12:44

Hab ich gemacht. :)   ─   kurzefrage.8 16.01.2022 um 12:52

Wenn es hauptsächlich um die Zerlegung geht, musst du, wie im Video erklärt, übrigens die (-1) ausklammern. Die Funktion soll nämlich nicht verändert werden, sondern nur in eine andere Form gebracht werden.   ─   lernspass 16.01.2022 um 13:31

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