Hmpf - in Deiner Lösung benutzt Du $f$ und $X$, was Du beides nicht erklärst und was beides in der Aufgabenstellung gar nicht vorkommt. Damit ist der Bezug erstmal unklar (wo kommt diese Lösung denn her, wenn da falsche Buchstaben drinstehen...?).

In meinen Worten müssen doch die folgenden zwei Richtungen gezeigt werden:
a) Wenn die Abbildung $\varphi$ injektiv ist, dann gibt es eine Umkehrabbildung $g$ mit $g(\varphi(v))=v$ für alle $v\in V$.
b) Wenn es eine Umkehrabbildung $g$ zu $\varphi$ mit $g(\varphi(v))=v)$ für alle $v\in V$ gibt, dann ist $\varphi$ injektiv.

Du hast hier eine mögliche Lösung für b) - da fehlt am Anfang, warum $g\circ f$ injektiv ist (logisch, weil es die Identität sein soll, also sogar bijektiv ist).
Ob $g$ auch injektiv ist, was da widerlegt wird, ist aber gar nicht gefragt

Dafür fehlt Teil a).