Mögliche Funktionsgleichung aufstellen

Aufrufe: 351     Aktiv: 28.10.2021 um 11:33
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Hallo Leute,

ich habe die Aufgabe, dass ich eine mögliche Funktionsgleichung einer Funktion dritten und vierten Grades aufschreiben muss, die nur die 2 Nullstellen x=-1 und x=3 besitzen. Wie stelle ich eine solche Funktionsgleichung auf, kann mir jemand den Ansatz (gerne auch an einem anderen Beispiel) zeigen.

Vielen Dank im Voraus!
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Ein Polynom 2. Grades mit diesen Nullstellen erhälst du durch den Satz von Vieta (x+1)(x-3)=0.

Was fehlt dir jetzt noch zum 3. bzw. 4. Grad?
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Meine Idee war übrigens noch, dass du auch doppelte Nullstellen verwenden kannst. also zum Beispiel x = 1 als doppelte Nullstelle, dann erhälst du das Polynom \( (x-1)^2\), dazu dann noch eine andere Nullstelle - Voila, 3. Grades.   ─   lernspass 28.10.2021 um 10:04

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Du kannst ja jede Polynomfunktion als Faktorisierung von Linearfaktoren hinschreiben:

$f(x)=(x-\pi)\cdot (x+ 3)$ hat z.B. die Nullstellen $\pi$ und $-3$. Der Linearfaktoren $(x-\pi)$ ist ja Null, wenn $x=\pi$ ist, bei $(x+3)$ entsprechend $x=-3$.
Dieses Beispiel hat aber nur den Grad 2.

Außerdem gibt es quadratische Faktoren wie $(x^2+1)$, die keine Nullstelle besitzen und Grad 2 haben. Da gibt es natürlich auch noch weitere.

Wenn Du nun quadratische Faktoren und Linearfaktoren miteinander kombinierst, müsstest Du die geforderten Eigenschaften "zusammenbasteln" können.

Wie kommt man drauf? Rückwärts denken. Wenn Du Nullstellen bestimmen sollst, musst Du ja auch Linearfaktoren ausklammern (wenn Ihr Polynomdivision macht). Ansonsten noch ein Beispiel: $f(x)=x^2+6x+8$ hat die Nullstellen $x=-2$ und $x=-4$. Dafür kann man auch $f(x)=(x+2)\cdot (x+4)$ schreiben. Kann man durch Ausmultiplizieren prüfen... Das geht so mit jeder Nullstelle.
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Er meinte auch nur eine Nullstelle und nicht keine. Hab’s verstanden... trotzdem danke.   ─   stefan 151 28.10.2021 um 09:19
Nein, ich hatte mich vertippt. Ich meinte $(x^2+1)$... blöder Fehler.
Ich verbessere das - und gemeint sind natürlich reelle Nullstellen.

$f(x)=(x^2+1)\cdot (x^2+5)$ hat beispielsweise Grad 4 und keine Nullstellen. Man kann also den Grad um 2 erhöhen ohne dabei eine Nullstelle zu generieren. Geht aber nicht, wenn man den Grad um 1 erhöht. Dann kommt automatisch eine Nullstelle dazu (außer man nimmt vorher eine Nullstelle weg und erhöht dann den Grad um zwei).

In Bezug auf eine doppelten Nullstelle wie sie durch $(x+1)^2$ erzeugt wird: man muss sich einigen, ob die einfach oder doppelt gezählt werden sollen (das ist entweder Kontext-abhängig oder eine Vorgabe).   ─   joergwausw 28.10.2021 um 11:28

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