Urbild Unterraum zeigen.

Aufrufe: 51     Aktiv: 27.05.2021 um 09:42

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Sei K ein Körper und seien V und W Vektorräume über K. Sei F : V → W eine lineare Abbildung und sei U ein Unterraum von W. Zeigen Sie, dass das Urbild F ^−1 [U] ein Unterraum von V ist.

Hat da jemand eine Lösung oder einen Ansatz?
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2 Antworten
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Du musst hier die Untervektorraumaxiome prüfen, also ob der Nullvektor enthalten ist und ob die Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Zum Nullvektor: Da \(U\) nach Voraussetzung ein Untervektorraum ist, gilt \(0_W\in U\). Auch folgt aus der Linearität von \(F\) unmittelbar \(F(0_V)=F(0_K\cdot 0_V)=0_K\cdot F(0_V)=0_W\), somit gilt \(0_V\in F^{-1}(U)\)
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\(x,y\in f^{-1}(U)\Rightarrow \alpha x+y\in f^{-1}(U)\), denn \(\alpha f(x)+f(y)=f(\alpha x+y)\in U\Rightarrow f(x),f(y)\in U\)
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