Elastizität von einer Funktion berechnen

Aufrufe: 239     Aktiv: 04.01.2024 um 20:16
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Hallo zusammen,

ich habe in rund 2 Wochen eine Prüfung in meinem Studium. Ich habe Probleme beim Thema Elastizität.

Wie berechne ich die folgenden Aufgaben? Leider steht bei uns nur das Resultat in den Lösungen und kein Rechnungsweg. Zudem haben wir nur zwei Formeln in unserer Formelsammlung.
Mir ist aufgefallen, dass es in den Lösungen häufig die Hochzahlen als Resultat sind. Könne man rein theoretisch darauf gehen, dass das Resultat immer der Potenz entspricht?


Vielen lieben Dank
Juliana
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Da steht doch eine Formel in der letzten Zeile. Damit solltest Du leicht Aufgabe 1 erledigen können. Wenn es dabei Probleme gibt, lade Deine Rechnung hier hoch (oben "Frage bearbeiten").   ─   mikn 25.11.2023 um 22:22
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Aufgabe 2 baut dann darauf auf. Erst die Elastizität von \(0.4 K^{1.06}\) bezüglich K berechnen, und um soviele Prozent erhöht sich dann das Verkehrsaufkommen bei Erhöhung der Ausgaben um 1%.
Ungewohnt ist hier, dass K die Rolle spielt, die in Aufgabe 1 das x gespielt hat, und dass man dann nach K ableiten muss. GGf. hilft es Dir, das K in x umzubennen, dann abzuleiten, und dann x wieder in K umzubenennen.
Ungewohnt ist auch, dass die Funktion T die Rolle spielt, die in Aufgabe 1 das f gespielt hat. GGf. hilft es Dir, T in f umzubennen, dann abzuleiten, und dann f wieder in T umzubenennen.   ─   m.simon.539 26.11.2023 um 00:53
Derartige Umbenennungen empfehle ich nicht. Der Umgang mit anderen Variablenbezeichnungen muss einfach geübt werden. Man muss sich klar machen, dass es nur eine Benennung ist.   ─   cauchy 26.11.2023 um 01:05
Danke für den Kommentar, doch ich verstehe leider grundsätzlich nicht wie man hier vorgehen muss..   ─   julia00 27.11.2023 um 19:21
Du musst schon konkrete Fragen stellen, damit wir helfen können. Einfach "verstehe nicht" und "hier vorgehen" (wo denn?) reicht da nicht. Tipps hast Du bekommen.   ─   mikn 27.11.2023 um 19:30
Also, wie von mir empfohlen: Erstmal K nach x umbenennen, und T nach f umbenennen. Dann hat man: \(f(x) = 0,\!4x^{1,\!06}\).
Dann erstmal ableiten; \(f'(x) = 0,\!4 \cdot 1,\!06 \cdot x^{0,\!06}\).
Dann ist \(\displaystyle \mbox{El}_x f(x) =\ldots \mbox{Formel verwenden, Rechnung bitte ausführen} \ldots= \ 1,\!06\).
Nun wieder x nach K und f nach T umbenennen:
Dann ist \(\displaystyle \mbox{El}_K T(K) = 1,\!06\).
Also kommt hier 1,06% raus.

Erfreulich ist hier, dass diese Prozentzahl nicht von K abhängt!

Du darfst natürlich auf die Umbenennerei verzichten. Ich habe das gemacht, weil es ungewohnt ist, nach K abzuleiten; K sieht hat aus wie eine Konstante. Und T sieht auch nicht aus wie eine Funktion, sondern eher wie eine Zeitangabe, und die Zeit ist üblicherweise die unabhängige Variable.

   ─   m.simon.539 27.11.2023 um 19:49
Vielen lieben Dank Simon! Hier bei dieser Aufgabe hat es nun eindeutig Klick gemacht :-)   ─   julia00 27.11.2023 um 20:06
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Also, wir haben diese Formel für die Elastizität, richtig? Die sieht so aus: \( E_f(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot x \). Das ist die, die in deiner Formelsammlung steht. Die \( f'(x) \) ist die Ableitung der Funktion – das zeigt uns, wie schnell sich was ändert, wenn x sich ändert. Und \( f(x) \) ist einfach die Funktion selbst, also was sie ausgibt, wenn du ein x einsetzt.
 
Jetzt zu den Hochzahlen, die du in den Lösungen siehst: Wenn du eine Funktion hast, die als Potenzfunktion geschrieben ist, also zum Beispiel \( T = 0.4K^{1.05} \), dann ist das cool, weil die Ableitung von Potenzfunktionen meistens auch wieder eine Potenzfunktion ist. Und bei Elastizität spielst du ja genau mit der Ableitung und der Originalfunktion.
 
Die Ableitung von \( K^{1.05} \) ist \( 1.05 \cdot K^{0.05} \) (weil du die Potenz nach vorne holst und dann eins von der Potenz abziehst). Dann setzt du das in die Elastizitätsformel ein. 
 
Für die Elastizität setzt du die Ableitung in die Formel ein und teilst das durch die Originalfunktion. Weil beide eine Potenz von K haben, kürzt sich das meistens so weit, dass nur die Hochzahlen übrig bleiben. Deshalb sieht das Ergebnis oft so aus, als wären es nur die Potenzen.
 
Um die Aufgabe ganz zu lösen, müsstest du das jetzt für die gegebene Funktion machen. Setz die Ableitung und die Originalfunktion in die Elastizitätsformel ein, kürze so weit wie möglich, und dann siehst du, was übrig bleibt. Das ist dann die Elastizität für diese Funktion. 
 
Wenn du das machst, wirst du sehen, dass die Hochzahl von K in der Ableitung die Rolle spielt – das ist das, was am Ende als Ergebnis für die Elastizität rauskommt.
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@ffmstylez willkommen auf mathefragen.de! Schön das du helfen möchtest, das Forum kann stets neue engagierte Helfer gebrauchen. Aber wie wild liegengebliebene Fragen zu beantworten, so mal diese hier ja z.B. auch schon geklärt zu sein scheint, bringt nicht unbedingt einen Mehrwert. Lies dir doch einmal unseren Kodex durch, wie man hilft und wie man Fragen stellt. Deine erste Frage ist beispielsweise noch ausbaufähig, Du kannst dir auch anschauen wie andere hier helfen.   ─   maqu 04.01.2024 um 20:16

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