Grenzwert von Reihen berechnen, Quotientenkriterium

Aufrufe: 95     Aktiv: 13.09.2021 um 14:38

1
Hi, ich wende gerade das Quotientenkriterium für Reihen an. Die Lösungen helfen mir leider nicht weiter, die Aufgabe zu lösen, kann mir jemand erkären, wieso:

$\frac{2^{n+1} +5}{2^n +5} = \frac{2+5 \cdot 2^{-n}}{1+5 \cdot 2^{-n}} = \frac{2}{1}$

Ich frage mich vor allem, auch, wie man auf die $2^{-n}$ gekommen ist. Könnte mir das jemand schrittweise erklären (also nicht kleine Zwischenschritte auslasen)?

Danke für eure Hilfe!
gefragt

Student, Punkte: 29

 

2
Im ersten Schritt wird im Zähler und Nenner einfach $2^n$ ausgeklammert (gemäß Distributivgesetz) und gekürzt.   ─   zest 12.09.2021 um 23:53

Somit gilt:
$\frac{2^{n+1} +5}{2^n +5} \overset{\text{ausklammern}}{=} \frac{2^{-n}*(2+ \frac{5}{2^n})}{2^{-n}*(1 +\frac{5}{2^n})} \overset{kürzen}{=} \frac{2+5*2^{-n}}{1+5*2^{-n}} \overset{2^{-n} = \underset{ \to 0}{\frac{1}{2^n}}}{=} \frac{2+0}{1+0} = \frac{2}{1} = 2 $

UPDATE: @cauchy
  ─   cp-student 13.09.2021 um 00:28

1
Warum schreibst du das nicht als Antwort?   ─   cauchy 13.09.2021 um 00:29

1
Oben fehlen die Klammern nach dem Ausklammern in Zähler und Nenner und das letzte ist keine Gleichung, weil das Kürzen aus Summen nicht geht. Das wird vermutlich der Grenzübergang für $n \rightarrow \infty$ sein.   ─   cauchy 13.09.2021 um 00:32

@cauchy: kann ich das auch als Antwort hinzufügen? Sehe hier nur die Möglichkeit eines Kommentars...   ─   cp-student 13.09.2021 um 00:50

1
@cp-student die Frage (warum nicht als Antwort) ging an mich glaube ich. Dein UPDATE ist korrekt.
Edit: $2^n$ ausklammern, nicht $2^{-n}$.
  ─   zest 13.09.2021 um 01:25

1
Ja, ging an zest.   ─   cauchy 13.09.2021 um 02:08

Alles klar, du kannst das gerne als Antwort posten, dann vote ich das nach oben!   ─   cp-student 13.09.2021 um 10:58

Das update ist nicht korrekt, siehe den Kommentar von cauchy.   ─   mikn 13.09.2021 um 11:27

ja, es muss $2^n$ ausgeklammert werden, nicht $2^{-n}$.   ─   zest 13.09.2021 um 14:22

@zest: achja, das auch noch. Aber das ist nicht alles.   ─   mikn 13.09.2021 um 14:25

Ja der Grenzwertprozess wurde unsauber aufgeschrieben, das muss man halt vernünftig hinschreiben, das überlass ich OP.   ─   zest 13.09.2021 um 14:38
Kommentar schreiben
0 Antworten