Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

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Gegeben seien die drei Vektoren u,v,w aus dem Vektorraum R^{3}:

Es sollen alle a Element R bestimmt werden, für die die Liste von Vektoren linear unabhängig ist.
Mein Ansatz wäre folgender:

Damit die Vektoren linear unabhängig sind darf diese Gleichung ja nur durch lambda1 =  lambda2 =  lambda3 = 0 lösbar sein.
Meine Frage ist jetzt, wie ich auf die möglichen a kommen für die das der Fall ist. Könnte mir da jemand weiterheflen?
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1 Antwort
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Bestimme \(a\) so, dass die Determinante der Matrix, welche als Spalten die drei Vektoren hat, ungleich Null ist.  dann ist das LGS eindeutig lösbar und hat nur die Lösung \((0,0,0)\).

Hilft das?
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Determinante wurde noch nicht behandelt in der Vorlesung. Könnte man auch so ein LGS aufstellen und dieses mit dem Gauß-Algorithmus lösen?
  ─   freakbob999 19.02.2021 um 12:08

Klar, das geht auch. Du musst einfach die Unbekannte \(a\) immer mitführen und siehst dann, welche Werte \(a\) annehmen darf, damit nur die Eindeutige Lösung \(0\) existiert.   ─   slanack 19.02.2021 um 12:11

Okay vielen Dank, dann werde ich es gleich mal versuchen   ─   freakbob999 19.02.2021 um 12:39

Ich komme beim LGS lösen einfach nicht weiter. Das a stört mich dabei irgendwie. Ich habe zwar angefangen das LGS in Stufenform zu bringen, komme aber nicht wirklich auf ein vernünftiges Ergebnis.   ─   freakbob999 19.02.2021 um 18:23

Lade Deine Rechnung am Besten mal hier hoch, dann sehen wir weiter.   ─   slanack 19.02.2021 um 18:42

Mein Versuch: \begin{pmatrix}1&1&a&0\\1&0&2&0\\0&a&-1&0\end{pmatrix}
2. Zeile + (-1) * 1. Zeile \(\rightarrow\) \begin{pmatrix}1&1&a&0\\0&-1&2-a&0\\0&a&-1&0\end{pmatrix}
3. Zeile + a * 2. Zeile \(\rightarrow\) \begin{pmatrix}1&1&a&0\\0&-1&2-a&0\\0&0&-1+a\cdot(2-a)&0\end{pmatrix}
Dann weiß ich nicht mehr weiter.
  ─   freakbob999 19.02.2021 um 20:05

Yo, sieht gut aus! Damit das LGS eindeutig (durch \(0\)) lösbar ist, muss \(-1+a(2-a)\neq0\) gelten. Kannst Du jetzt alle \(a\) angeben, für die das eintritt?   ─   slanack vor 6 Tagen

Ah okay vielen Dank für Deine Hilfe, dann war mein Ansatz ja richtig. Also ist die Liste von Vektoren für alle \( a \neq 1\) linear unabhängig.   ─   freakbob999 vor 5 Tagen, 10 Stunden

Perfekt!   ─   slanack vor 5 Tagen, 7 Stunden

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