0
Hallo Zusammen

Ich habe folgende Aufgabe:
Beweisen Sie die Existenz und eindeutigkeit einer lokalen Lösung des folgenden Anfangswertproblem:
\(y'(t)=\frac{4+sin(y(t))}{(cos(x))^2}\) mit \(y(0)=1\) und bestimmen Sie in welcher Definitionsmenge die Lösung definiert ist.

Dafür hätte ich den Satz von Piccard-Lindelöf gebraucht, doch wir haben in der Vorlesung nie eine Anwendung davon gesehen, weshalb ich ein wenig irritiert bin, wie man das nun wirklich löst, vorallem da wir uns ja die Intervalle konstruieren müssen.

Könnte mir da also jemand helfen?

Ich habe bis jetzt das gemacht:



vielen Dank
Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 1.11K

 

Kommentar schreiben

1 Antwort
1
Wenn ich mal die Version Satz von PL (wikipedia) zugrunde lege, müsste das so gehen.
Allerdings nur da, wo \(F\) stetig ist. Bei diesem speziellen AW heißt das, die Lösung existiert nur auf jedem abgeschlossenen Intervall \(I\) mit \(I\subset (-\frac\pi2,\frac\pi2)\). Damit sollte sie auf \( (-\frac\pi2,\frac\pi2)\) existieren.
Hinweis: Innerhalb von Betragsstrichen darf man nie abschätzen. Der korrekte, saubere Weg ist: \(...\le |\frac1{\cos^2 t} \cdot\cos y|=|\frac1{\cos^2 t}|\cdot \underbrace{|\cos y|}_{\le 1}\). Und die Lipschitzabschätzung mit \(y\), nicht mit \(y(t)\), es geht ja hier um die Funktion \(F\), und das hat erstmal nichts mit einer Dgl zu tun.
Und, sorry, weil's ein häufiger Fehler ist: "we need to prove" - "to prove" = beweisen, "proof" = Beweis.
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 14.12K
 

Hallo
Vielen Dank, ja in der Zwischenzeit habe ich auch noch einiges geändert, nämlich auch das Intervall \(I\) habe es genau so angepasst wie du es vorgeschlagen hast. Zusätzlich habe ich bei der Abschätzung den einten Betragsstrich vergessen, es sollten zwei Beträge sein vor der Abschätzung.
  ─   karate 12.05.2021 um 16:29

Hab auch nochmal angepasst an Deine Bezeichnung: F statt f.   ─   mikn 12.05.2021 um 16:38

ah super vielen Dank. ja ich habe es auch zu y geändert weil unser Prof uns das gesagt, hat, aber wieso genau muss ich das machen, also ich habe doch \(F(t,y(t))=\frac{4+sin(y(t))}{(cos(t))^2}\). Wieso muss man dann aufschreiben \(F:I \times D \rightarrow \mathbb{R}: \,\,\, (t,y)\mapsto \frac{4+sin(y)}{(cos(t))^2}\). Was bedeutet dann dieses y? Nimmt man das so dass man sagt \(y(t)=y\) und man dann das so einsetzen kann da \(D\subset \mathbb{R}^n\) ist.   ─   karate 12.05.2021 um 17:02

F ist eine Funktion von zwei Variablen, t und y. Diese hat bestimmte Eigenschaften (z.B. Lipschitz in y). In der Dgl wird sie verwendet für die rechte Seite, WENN anstelle von y eingesetzt wird y(t). Man nimmt zur Bezeichnung immer das grundlegende. F(t,y(t)) hat eine andere Struktur, könnte bei gegebenem y ein Funktionswert einer Funktion von nur einer Variable t sein, also t->F(t,y(t)), könnte auch von zwei Variablen sein, nämlich die eine ist t und die andere eine FUNKTION y, also (t,y)->F(t,y(t)). Eindeutig ist nur die Version (t,y)->F(t,y).
  ─   mikn 12.05.2021 um 17:13

Sorry ich hake nun nochmals nach weil es mir nicht ganz intuitiv erscheint. y ist nun also ein Element aus \(D\subset \mathbb{R}^n\) oder ist y eine Funktion? wieso darf ich dann \(F(t,y)\) mit \(F(t,y(t))\) identifizieren, sorry verstehe deine Erklärung nicht ganz. Muss dann y nicht im Wertebereich von \(y(t)\) liegen?   ─   karate 12.05.2021 um 17:21

Genau das ist der Punkt, daher hab ich ja dabei geschrieben, "Variable" bzw. "Funktion". Und man identifiziert F(t,y) auch nicht mit F(t,y(t)), sind ja auch verschieden.   ─   mikn 12.05.2021 um 18:15

aha also man wählt da y im Wertebereich von y(t) da man darüber mehr aussagen kann als über y(t) denn von dieser Funktion weiss man ja genau nur den Wertebereich mehr nicht.   ─   karate 12.05.2021 um 18:29

Ja, y(t) ist ja die Lösung der Dgl, genauer: der Funktionswert der Lösung y. Und die kennt man ja vorerst gar nicht.   ─   mikn 12.05.2021 um 18:50

ah super vielen Dank ja nun ist es klar!   ─   karate 12.05.2021 um 18:52

Kommentar schreiben