Hallo,

es gilt:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{2n}=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^{2k-1}}=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2^{2k+1}}.$$

Außerdem gilt:

$$\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2^{2k+1}}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{2k}}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{2k+1}}$$

Jetzt weißt du, dass gilt:

$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^k}=2$$

und somit folgt:

$$\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2^{2k+1}}=1-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{2k+1}}$$

und das ist äquivalent zu:

$$\frac{3}{2}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2^{2k+1}}=1$$

und das widerum zu

$$\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2^{2k+1}}=\frac{2}{3}.$$

und du bist fertig! :)