Körper, Vektorraum, Span


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Sei K Teilkörper eines Körpers L und V ein L-Vektorraum. Sei V = \(Span_{L}\)(\(x_{1}\), . . . , \(x_{n}\)) für Elemente \(x_{i}\) ∈ V . L ist in natürlicher Weise ein K-Vektorraum. Es gelte L = \(Span_{K}\)(\(α_{1}\), . . . , \(α_{m}\)) für Elemente \(α_{i}\) ∈ L. Zeigen Sie: V = \(Span_{K}\)(\(α_{i}\)\(x_{j}\) ∈ L : i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n)   Ich habe leider nicht so die Idee dazu und würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.

 

gefragt vor 1 Jahr
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ichbins,
Student, Punkte: 23
 
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1 Antwort
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Hallo, was passiert mit den Elementen des letzten Spanns? Werden diese multipliziert? Dann hast du aber Skalare in deinem Spann und die Linearkombinationen von Skalaren kann nur wieder ein Skalar ergeben. Bedeutet das K im Index des Spann das nur Skalare aus diesem Körper genutzt werden? Grüße Christian
geantwortet vor 1 Jahr
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 17.7K
 

Hallo Christian, so ganz weiß ich das auch nicht, ob das eine Multiplikation sein soll, aber das K im Index soll dafür stehen, dass dieses das Erzeugendensystem z.B. von L als K-Vektorraum ist. Der Index steht also sozusagen für den Körper. Ich bin nun darauf gestoßen:  http://www.matheboard.de/archive/43891/thread.html">http://www.matheboard.de/archive/43891/thread.html

Dies scheint mehr oder weniger die selbe Aufgabe zu sein, jedoch komme ich einfach nicht weiter.
  -   ichbins, kommentiert vor 1 Jahr

Ah ok. Scheint genau die selbe Aufgabe zu sein.

Auch keine Idee zum letzten Post? Das ist eigentlich schon ein guter Tipp.

Er hat einmal aufgeschrieben wie so eine Linearkombination aussieht. Wie kommt man nun mit der zweiten und dritten Gleichung auf die erste?
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Jahr

Danke für die Antwort, also ich hätte jetzt einfach das L also sozusagen die Definition von \(Span_{K}\)(\(α_{1}\), . . . , \(α_{m}\)) in die Definition \(Span_{L}\)(\(x_{1}\), . . . , \(x_{n}\)) für ein jeweiliges l eingesetzt und dann das k ausgeklammert, bin nur nicht so sicher ob das so machbar ist weil das ja jeweils die Summe ist.
Hoffe man versteht was ich meine.
  -   ichbins, kommentiert vor 1 Jahr

So würde ich es aber auch machen.

Du musst dazu noch sagen warum du diese Darstellung für die \( l_i\) einsetzen darfst.

Dazu besitzt der Spann alle endlichen Linearkombinationen. Dazu würde ich auch noch kurz was schreiben.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Jahr
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