[Analysis 1] Nicht gleichmäßig stetig


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Hallo Leute, Ich habe auf dem momentanen Übungsblatt eine Aufgabe, bei der ich zeigen soll, dass \( sin(\frac{1}{x}) \) nicht gleichmäßig stetig auf \( (0,1] \) ist. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie das Vorgehen beim Beweis ist, und im Internet finde ich lediglich Beispiele für einen Beweis für die gleichmäßige Stetigkeit, nicht aber dagegen. Ich würde mich freuen wenn mir jemand eine Beweisskizze nennen kann, so dass ich selber versuchen kann auf die Lösung zu kommen. Mfg Ultor

 

gefragt vor 10 Monate, 4 Wochen
u
ultor,
Student, Punkte: 80
 
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1 Antwort
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Hallo,

die Funktion \( \sin(\frac 1 x) \) ist nicht glm. stetig.

Um die glm. Stetigkeit zu widerlegen musst du folgendes zeigen:

\( \exists \epsilon > 0 \ \forall \delta > 0 \exists x,y \in D : \vert x - y \vert < \delta \Rightarrow \vert f(x) - f(y) \vert \ge \epsilon \)

Nimm mal die Folge

\( x(n) = \frac 1 {\pi(n + \frac 1 2 )} \)

Diese Folge ist eine Nullfolge. Also müssen für genügend große \( n \in \mathbb{N} \) der Abstand der Folgeglieder bel. klein werden.

Nun berechne mal

\( \vert x(n+1) - x(n) \vert \)

Grüße Christian

 

geantwortet vor 10 Monate, 4 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 17.22K
 
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