Hi,

ich habe den Term einmal in WolframAlpha eingegeben und mir dazu den Lösungsweg angeschaut. Ich persönlich fand den wenig verständlich und habe einen ähnlich langen Rechenweg, der meiner Meinung nach jedoch etwas verständlicher sein sollte. Dennoch gehe ich auch davon aus, dass man den Term noch geschickter kürzen kann, als ich es jetzt zeigen werde.

\( \frac{-3 + \sqrt{15}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{32-8 \sqrt{15}}} = \frac{-3 + \sqrt{15}}{\sqrt{96-24\sqrt{15}}} = \frac{-3 + \sqrt{15}}{\sqrt{96 - \sqrt{8640}}} \)

Ich hoffe du konntest mir bis hierhin folgen. Ich habe lediglich die ganzzahligen Faktoren in Wurzeln umgewandelt, um sie dann in die bereits bestehenden Wurzeln hineinziehen zu können. Nun stören uns vor allem die Wurzeln. Gerade bei solchen Problemen erweist es sich oftmals als sehr hilfreich, das Quadrat des Bruchs zu betrachten, indem man den Bruch zum Quadrat nimmt und gleichzeitig die Wurzel zieht, um die Gleichheit beizubehalten. Dabei konzentrieren wir uns im folgenden nur auf den Ausdruck unter der Wurzel, den wir dann möglichst vereinfachen möchten:

\( \sqrt{\frac{(-3+\sqrt{15})^{2}}{(\sqrt{96-\sqrt{8640}})^{2}}} = \sqrt{\frac{9-6\sqrt{15}+15}{96-\sqrt{8640}}} = \sqrt{\frac{24-\sqrt{540}}{96-\sqrt{8640}}} \)

Hier wurde bislang also nichts anderes gemacht als im Zähler die binomische Formel anzuwenden und im Nenner durch das Quadrieren die Wurzel wegfallen zu lassen. Anschließend wurde wie auch schon im ersten Teil alles ein wenig zusammengefasst. Somit haben wir im Nenner schon einmal keine "verschachtelten" Wurzeln. Für den nächsten Schritt ist nun ein wenig genaues Hinsehen notwendig: Im Zähler sehen wir die Zahl \(24\), im Nenner die Zahl \(96\). Auffällig ist, dass \(24 \cdot 4 = 96 \) gilt. Es bietet sich an, im Nenner den Faktor \(4\) auszuklammern, um im Zähler und im Nenner die Zahl \(24\) stehen zu haben in der Hoffnung, dass mit dem Wurzelausdruck etwas günstiges geschieht:

\( \sqrt{\frac{24-\sqrt{540}}{4 \cdot (24 - \frac{1}{4} \sqrt{8640})}} = \sqrt{\frac{24 - \sqrt{540}}{4 \cdot (24 - \sqrt{\frac{1}{16} \cdot 8640})}} = \sqrt{\frac{24-\sqrt{540}}{4 \cdot (24 - \sqrt{540})}} \)

Und wir sehen, dass wir zielführend vereinfachen konnten. Letztendlich ergibt sich

\( \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} \)

Ich hoffe, dass ich es soweit verständlich erklärt habe und keine Tippfehler in den ganzen Schritten sind.