Lineare Algebra: Definition der Zeilenstufenform


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 In unserem Skript wird die Zeilenstufenform einer Matrix wie folgt definiert:

Seien m,n ∈N und A ∈ \(K^{mxn}\). Man sagt, dass A in Zeilenstufenform ist, wenn A keine Nullzeile hat, und wenn 1 ≤ \(j_{1}\) < \(j_{2}\) < ··· < \(j_{m}\) ≤ n, wobei für jedes i die Zahl \(j_{i}\) die kleinste Zahl ist mit \(a_{ij}\)\(_{i}\) \(\neq\) 0 (das zweite i müsste hier noch unter dem ij stehen). Die Spalten \(j_{1}\),..., \(j_{m}\) von A nennt man dann auch Stufenspalten.

Kann mir das vielleicht jemand in einfachen Worten erklären?

Versteh ich das richtig, dass quasi in der n-ten Zeile jeweils der n-te Eintrag der, erste ungleich ist?

 

 

gefragt vor 9 Monate, 1 Woche
k
kramlu,
Student, Punkte: 27
 
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1 Antwort
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Hallo,

Du musst den Befehl folgendermaßen schreiben a_{ij_{i}}. 

\( A \) soll keine Nullzeile haben. 

Durch die Beschränkung \( 1 \leq j_1 < j_2 < \ldots < j_m \leq n \) muss  auch \( m \leq n \) gelten, da die einzelnen \( j_k \) nicht gleich sein können und \( k \in [1,m] \subset \mathbb{N} \) und durch die Bedingung \( j \in [1,n] \subset \mathbb{N} \).

Wir haben also weniger (oder gleichviele) Zeilen als Spalten. 

\( a_{ij_i} \neq 0 \). Hier sind das \( i \) für die Zeile und das \( i \) in \( j_i \) die selbe Zahl, also zum Beispiel die Zahl \( a_{2j_2} \) ist die erste Zahl in der zweiten Spalte die nicht Null ist. Alle davor sind Null. 

So nun zu dem Grund das wir uns den Umstand machen und die Bedingung mit den \( j_k \) einführen.

Nehmen wir uns \( A \in K^{3\times 5} \) als Beispiel. Um diese Matrix in Zeilenstufenform zu bringen dürfen wir keine Nullzeile haben. Da diese Matrix aber den maximalen Rang 3 haben kann, können wir 2 Nullspalten erzeugen. Nun müssen diese beiden Nullspalten aber nicht in den letzten beiden Spalten sein, sondern könnte zum Beispiel auch so aussehen.

\( \begin{pmatrix} 0 &1 & 2 &3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 0 \end{pmatrix} \)

Dies wäre eine Zeilenstufenform. Darum sagt man das es einen Wert für \( j \) gibt, ab dem in der ersten Spalte vorher nur Nullen sind dann kommt ein Wert ungleich Null. In der nächsten Zeile muss der Wert für \( j \) größer sein als eben der erste usw. Um eben die Treppenform zu erzeugen.

Ich hoffe ich konnte es anschaulich erklären. Für die Anschauung habe ich dir noch ein Video angehängt. Dort wird eine Matrix in Zeilenstufenform gebracht. 

Grüße Christian

geantwortet vor 9 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
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