Kegelförmiges Sektglas füllen

Aufrufe: 156     Aktiv: vor 1 Jahr, 1 Monat

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Hallo, die Aufgabe lautet: "Bis zu welcher Höhe muss man ein kegelförmiges Sektglas (Höhe ohne Stiel 8.8cm) füllen, wenn es halb voll sein soll". Ich überlege die ganze Zeit was das Ergebnis sein könnte, ich komme aber nicht drauf. Könnt ihr mir die Lösung aufzeigen und mir den Rechenweg erklären. Hat das eventuell was mit der V Formel zu tun?

 

gefragt vor 1 Jahr, 1 Monat
j
jamespie,
Punkte: 10
 

Ist noch Radius / Durchmesser gegeben?

  -   maccheroni_konstante, verified vor 1 Jahr, 1 Monat

Nein nur die Höhe ist angegeben.

  -   jamespie, vor 1 Jahr, 1 Monat
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1 Antwort
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Hallo,

ohne weitere Angaben, ist diese Aufgabe nicht eindeutig lösbar. Nur durch den Radius wissen wir, wie groß der Öffnungswinkel des Glases ist. 

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Jahr, 1 Monat
christian_strack verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 22.62K
 

Hallo, mein Mathelehrer meinte es gibt verschiedene Varianten wie man diese Aufgabe lösen kann. Er meinte eine Variante wird mit dem Streckungsfaktor gelöst. 

  -   jamespie, vor 1 Jahr, 1 Monat

Ja tatsächlich stand ich einfach nur auf dem Schlauch. Mit den Strahlensätzen lässt es sich lösen.


Es gilt 


\( V_1 = \frac 1 3 \pi r_1^2 h_1 \ , \ V_2 = \frac 1 3 \pi r_2^2 h_2 \)


Nun gilt \( V_2 = \frac 1 2 V_1 \) 


Außerdem findet man durch die Strahlensätze den Zusammenhang


\( \frac {r_2} {r_1} = \frac {h_2} {h_1} \Rightarrow r_2 = r_1 \frac {h_2} {h_1} \)


Wenn wir das alles einsetzen und die Gleichungen gleichsetzt, erhält man


\(  r_1^2 h_1 =  2  r_2^2 h_2 \\ \Rightarrow r_1^2 h_1 = 2 (r_1 \frac {h_2} {h_1})^2 h_2  \\ \Rightarrow h_1^3 = 2 h_2^3  \\ \Rightarrow h_2 = \sqrt[3]{0,5} h_1 \)


Grüße Christian

  -   christian_strack, verified vor 1 Jahr, 1 Monat

Kennst du noch andere Varianten, wie man die Aufgabe noch lösen kann?

  -   jamespie, vor 1 Jahr, 1 Monat

Du kannst auch direkt über den Streckungsfaktor gehen. Es gilt


\( \frac {V'} {V} = k^3 \\ \frac {\frac 1 2 V} V = \frac 1 2 = k^3 \\ k = \sqrt[3]{0,5} \)


In 1-D gilt


\( \frac {h'} {h} = k \\ h' = \sqrt[3]{0,5} h \)


Liefert also das selbe Ergebnis. Der Streckungsfaktor, ensteht durch die Strahlensätze, deshalb habe ich den Weg genommen, da ich ihn schöner finde. 


Grüße Christian

  -   christian_strack, verified vor 1 Jahr, 1 Monat

Danke für deine Mühe 

  -   jamespie, vor 1 Jahr, 1 Monat

Sehr gerne.


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Grüße Christian

  -   christian_strack, verified vor 1 Jahr, 1 Monat
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