Vollständigkeit, lineare Unabhängigkeit


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Kann mir jemand die geometrische Interpretation von Vollständigkeit und linearer Unabhängigkeit aufzeigen?

 

gefragt vor 6 Monate, 1 Woche
l
lo,
Punkte: 10
 

Vollständigkeit von was?
Gruppe, Raum, Maß, Funktion, ...
  -   s1k, kommentiert vor 6 Monate, 1 Woche

Vollständigkeit einer Teilmenge eines Vektorraums. Entschuldige die ungenaue Formulierung.   -   lo, kommentiert vor 6 Monate, 1 Woche
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1 Antwort
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Hallo lo,,

 

Eine Menge von Vektoren ist dann unabhängig, wenn ich jeden beliebigen Vektor aus der Menge nicht mit Hilfe der anderen konstruieren kann.

 

Beispiel für abhängige Vektoren wäre zum Beispiel:

 

\( a= \begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}, b= \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, c= \begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix} \), da gilt \(a=b-3c\)

 

Ich konnte den Vektor a mit Hilfe von b und c konstruieren (d.h. mit der Hilfe von Multiplikation und Summe).

 

Unabhhängig wären zum Beispiel:

 

\( a= \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, b= \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}, c= \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \)

 

Graphisch kannst du dir auch das so vorstellen. Ein Vektor ist genau dann unabhängig von zwei Anderen, wenn er nicht in der Ebene liegt, die diese Beiden aufspannen.

 

Wichtig ist, dass die Zahl der Vektoren in der Menge kleiner oder gleich ist, als deren Dimension.

 

D.h. im drei Dimensionalen Raum können 4 Vektoren niemals unabhängig sein.

 

Hoffe es ist etwas klarer geworden.

 

s1k

 

geantwortet vor 6 Monate, 1 Woche
s1k,
Student, Punkte: 225
 
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