Hallo!
Es gilt:
\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\ln(1+x) = x \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to 1}\ln\big(1+\underbrace{(x-1)}_{\to 0}\big) = x-1 \) (auf die Landauschreibweise wurde hier wegen der Übersichtlichkeit verzichtet).
Außerdem:
\(\displaystyle \sin(x) = x + \cdots\), da aber \(\displaystyle \lim_{x\to 1}\sin(\pi x) = 0\) und \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\sin(x) = 0\), muss man die Reihendarstellung dementsprechend anpassen zu (wir müsssen also sozusagen das ganze Argument nehmen und es um \(\displaystyle 1\) nach rechts verschieben):
\(\displaystyle \sin(\pi x) = -\pi(x-1)\) (Das Vorzeichne kommt von der Taylorentwicklung, da die ersten beiden Glieder wie foltgt lauten: \(\displaystyle \underbrace{\sin(\pi\cdot 1)}_{=0} + \pi \underbrace{\cos(\pi \cdot 1)}_{= -1}(x-1)\) [mit \(\displaystyle x_0 = 1\)]).
Gruß.
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