Differentialgleichung allgemeine Lösung


0

Aufgabe:

Ermitteln Sie die allgemeine Lösung für 3y‘‘(t) + 9y(t) = 0


Problem/Ansatz:

Als erstes habe um die PQ-Formel anzuwenden die Gleichung durch 3 geteilt:

y‘‘(t) + 9y(t) = 0

 

Diese dann durch PQ-Formel gelöst:

$$ \frac{-3}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2} - 0}  $$

$$ \frac{-3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}  $$

$$ \frac{-3}{2} \pm \frac{3}{2}  $$

 

$$ y_1 = 0 $$

$$ y_2 = -3 $$

 

Anschließend habe ich es wie folgt eingesetzt:

$$ y(t) = c_1e^{y_1x} + c_2e^{y_2x} $$

$$ y(t) = c_1e^{0x} + c_2e^{-3x} $$

$$ y(t) = c_1 + c_2e^{-3x} $$

 

 

In meiner Lösungsskizze steht völlig was anderes als Lösung:

$$ Lösung: y(t) = c_1e^{-i\sqrt{3}t} + c_2e^{i\sqrt{3}t} $$


Wo mache ich hier was falsch? Wieso ist die Lösung in der Lösungsskizze eine komplexe Zahl?

 

gefragt vor 5 Monate, 1 Woche
S
SerCan,
Punkte: 5
 
Kommentar schreiben Diese Frage melden
1 Antwort
0

Hallo!

 

Die  Diffgleichung lässt sich mit einem Ansatz lösen:

 

\(\displaystyle  y(t) = \mathrm{e}^{\lambda t} \quad\Longleftrightarrow\quad (3\lambda^2 + 9)\mathrm{e}^{\lambda t} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda_{1,2} = \pm i\sqrt{3}\).

 

Wenn man hier also \(\displaystyle  \pm i\sqrt{3}+C_{1,2}\) rechnet, so kommt man auf die allgemeine Lösungsform.

 

Gruß.

geantwortet vor 5 Monate, 1 Woche
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.44K
 
Kommentar schreiben Diese Antwort melden