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Hallo,
für das neutrale Element gilt
\( a+ e = e +a = a \)
mit \( e \) dem neutralen Element\( \forall a \in F \).
Überlege dir mal welches Element beispielsweise in dem Ring der ganzen Zahlen das neutrale Element bzgl. der Addition ist.
Du kannst dir hier eine ähnliche Abbildung basteln.
Die Inversenbildung, würde ich mir auch wieder in den ganzen Zahlen überlegen. Wie ist das additiv Inverse der ganzen Zahlen?
Das du dir die Abbildungen basteln kannst auf die wir später kommen, ist es erforderlich das R ein Ring ist. Warum?
Sollst du nur diese beiden Sachen zeigen?
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Genau in dem Ring der ganzen Zahlen wäre die Null das neutrale Element der Addition. Da aber \( e \) das neutrale Element ist, gilt
\( 0+a = a+0 = a \)
Deshalb nennt man es auch neutral, da es in Bezug auf die Verknüpfung (hier + ) das Element unverändert lässt. Bei der Multiplikation wäre das die Eins
\( 1 \cdot a = a \cdot 1 = a \)
Invers bedeutet nun, das durch die Verknüfpung mit dem Inversen Element das neutrale Element der Verknüpfung ergibt
\( a + (-a) = 0 \)
In den ganzen Zahlen gäbe es kein multiplikatives Inverses außer für die Eins, da
\( 1 \cdot 1 = 1 \) , aber \( a \cdot \frac 1 a = 1 \). und \( \frac 1 a \) ist außer für \( a=1 \) keine ganze Zahl.
Um es zusammenzufassen, das additive Inverse zu \( a \) ist \( -a \) und das multiplikative Inverse ist \( \frac 1 a = a^{-1} \)
So nun wieder zurück zu deiner Aufgabe.
\( F:= R^M \) steht für die Menge aller Abbildungen von \( M \) nach \( R \), also
\( F:=\{ f(x) \in F \vert f: M \to R \} \)
Nun hast du ja schon richtig gesagt, das die Null das neutrale Element der Addition ist. Da \( R \) bereits ein Ring ist, besitzt R auch ein neutrales Element, bzgl der Addition. Also können wir eine Abbildung basteln, die alle Elemente aus \( M \) auf das neutrale Element von \( R \) abbilden. Nennen wir diese Abbildung \( e(x) \). Dann gilt
\( f(x) + e(x) = f(x) \), da \( f(x) \in R \) und \( e(x) \) in \( R \) und \( e(x) \) das neutrale Element in \( R \) ist.
Die Inversenbildung bzgl der Addition läuft relativ analog. Probier dich mal. DIe Kommutativität machen wir danach :) ─ christian_strack 06.07.2019 um 13:34
\( 0+a = a+0 = a \)
Deshalb nennt man es auch neutral, da es in Bezug auf die Verknüpfung (hier + ) das Element unverändert lässt. Bei der Multiplikation wäre das die Eins
\( 1 \cdot a = a \cdot 1 = a \)
Invers bedeutet nun, das durch die Verknüfpung mit dem Inversen Element das neutrale Element der Verknüpfung ergibt
\( a + (-a) = 0 \)
In den ganzen Zahlen gäbe es kein multiplikatives Inverses außer für die Eins, da
\( 1 \cdot 1 = 1 \) , aber \( a \cdot \frac 1 a = 1 \). und \( \frac 1 a \) ist außer für \( a=1 \) keine ganze Zahl.
Um es zusammenzufassen, das additive Inverse zu \( a \) ist \( -a \) und das multiplikative Inverse ist \( \frac 1 a = a^{-1} \)
So nun wieder zurück zu deiner Aufgabe.
\( F:= R^M \) steht für die Menge aller Abbildungen von \( M \) nach \( R \), also
\( F:=\{ f(x) \in F \vert f: M \to R \} \)
Nun hast du ja schon richtig gesagt, das die Null das neutrale Element der Addition ist. Da \( R \) bereits ein Ring ist, besitzt R auch ein neutrales Element, bzgl der Addition. Also können wir eine Abbildung basteln, die alle Elemente aus \( M \) auf das neutrale Element von \( R \) abbilden. Nennen wir diese Abbildung \( e(x) \). Dann gilt
\( f(x) + e(x) = f(x) \), da \( f(x) \in R \) und \( e(x) \) in \( R \) und \( e(x) \) das neutrale Element in \( R \) ist.
Die Inversenbildung bzgl der Addition läuft relativ analog. Probier dich mal. DIe Kommutativität machen wir danach :) ─ christian_strack 06.07.2019 um 13:34
Was bedeutet additiv Inverse? Sorry das verstehe ich nicht ganz. Inverse ist etwas umgekehrtes oder ?
Es wird nach einer Ringstruktur gefragt, weil wir dort die DIstributivgesetze haben, ist es so?
Diese Aufgabe wird viel Zeit in Anspruch nehmen :)
Viele Grüße
Eva ─ evatsigkana 05.07.2019 um 20:14