DGL 2. Ordnung linear homogen

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Wie kommt man auf diese Lösung bzw. warum steht in der ersten Zeile (re^x + se^-3x)? Ferner auch dann im zweiten Abschnitt das hoch null etc. Woher kommen diese zahlen?

 

gefragt vor 9 Monate, 4 Wochen
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AdemKokud,
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1 Antwort
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Hallo,

die Beschreibung ist wirklich sehr uneindeutig und was die genau mit der ersten Zeile sagen wollen ist mir auch nicht ganz klar. Aber du gehst folgendermaßen an so ein Problem heran. 

\( y'' + 2y' - 3y = 0 \) mit den Anfangswertbedingungen \( y(0) = 2 \) und \( y'(0) = -2 \).

Für eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten (wie hier eine vorliegt) können wir den Exponentialansatz wählen. Wir wählen den Ansatz 

\( y(x) = e^{\lambda x} , \ y'(x) = \lambda e^{\lambda x} , \ y''(x) = \lambda ^2 e^{\lambda x} \)

Setzen wir das ein, erhalten wir

\( \lambda ^2 e^{\lambda x} + 2 \lambda e^{\lambda x} - 3 e^{\lambda x} = 0 \)

Wir klammern \( e^{\lambda x} \) aus und wir erhalten unsere sogenannte charakteristische Funktion

\(  e^{\lambda x} \cdot \chi (\lambda) = e^{\lambda x} (\lambda ^2 + 2 \lambda - 3) = 0 \)

Nun wird \( e^{\lambda x} \) niemals Null, also muss unsere charakteristische Funktion \( \chi(\lambda) \) Null werden.

Die Nullstellen dieser Gleichungen sind 

\( \lambda_1 = 1 \land \lambda_2 = -3 \)

Wir erhalten also zwei Lösungen. 

\( y_1(x) = e^{x} , \ y_2(x) = e^{-3x} \). 

Jede dieser Funktionen würde unsere DGL lösen. Aber auch jedes Vielfaches und die Summe dieser Funktionen sind Lösungen. Wir erhalten also die allgemeine Lösung

\( y(x) = re^x + s e^{-3x} \)

Um nun Werte für \( r \) und \( s \) zu erhalten, setzen wir unsere Anfangswerte ein

\( y(0) = r e^0 + se^{-3 \cdot 0} = r + s = 2\\ y'(0) = re^0 - 3se^{-3 \cdot 0} = r - 3s =  -2 \)

Aus dem LGS erhalten wir nun \( r =1 \) und \( s=1 \), also ist die Lösungs bezogen auf unser Anfangswertproblem

\( y(x) = e^x + e^{-3x} \)

Grüße Christian

geantwortet vor 9 Monate, 4 Wochen
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Vielen dank, das erklärt so einiges!   -   AdemKokud, vor 9 Monate, 4 Wochen
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