Bogenlänge einer Sinuskurve

Erste Frage Aufrufe: 6461     Aktiv: 28.08.2019 um 16:27
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Hallo zusammen, 

Komme mit einer Frage aus dem Anwendungsbereich:

Ich habe eine Linie von 10 cm mit einer Wellenform/ Sinusform in ein Textil integriert. Stellt euch einen durchgehenden Faden in Wellenform vor. Nun benötige ich die exakte Länge der Wellenform. Hier die Daten: 

Länge 100 mm, Start bei (0/0), erster Hochpunkt (2,5/5), erster Tiefpunkt bei (7,5/-5), Nullstellen alle 5 mm also (5/0) (10/0) ...

Ich habe eine Funktion für diese Sinuskurve aufgestellt, bin mir aber nicht sicher, ob sie richtig ist: 

\{f(x)}=\{5*sin}(\{Pi/5}\(x-5))

Mein weiterer Weg wäre das Lösen mittels Integral

\{L}=\int\sqrt{1+(f´(x))²}\dx

wobei die erste Ableitung

\{f´(x)}=\(-x*cos)\((Pi/5)*x)

wäre?

Ich komme leider nicht auf eine sinnvolle Lösung mit Längenangabe :( Kann mir dabei jemand weiterhelfen? 

LG 

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@rno benutze 

https://www.integralrechner.de

Das Ergebnis von macceroni stimmt, aber beim Lösumgsweg sind wir nicht einer Meinung. 

Du wirst sehen, dass das eigentlich nur was für Computer ist...

Das Integral dieser Funktion muss bestimmt werden

Herkömmliche und dir bekannte Verfahren zur schriftlichen Integration "Lösungsweg" dürften hier versagen. ALSO, wähle einfach "numerische Berechnung" in den Optionen...

PS. Den Wert für Zickzack würde ich dir nicht glauben, der wäre ja größer als für die Sinuskurve - eher stimmt vielleicht die Hälfte

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Super, das hat geklappt, vielen Dank euch! :)   ─   rno 28.08.2019 um 15:30

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Deine Funktion kann ich leider nicht entziffern.

Die Funktion \(f(x):=5\sin \dfrac{\pi x}{5}\) (1 LE ≙ 1mm) erfüllt die geg. Eigenschaften.

Die Bogenlänge berechnet sich z.B. mithilfe von \(L(0,b) = \displaystyle\int\limits_0^b\sqrt{1+(f'(x))^2}\) (Start bei \(x=0\)).

'Löst' man die bestimmte Integral \(\displaystyle\int\limits_0^{100}\sqrt{1+(f'(x))^2}\), so erhält man \(L(0,100) \approx 230.4893\).

Somit hat der Graph von \(f\) auf \([0;100]\) eine ungefähre Bogenlänge von 230.5mm bzw. 23.05cm.

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Danke für die schnelle Antwort :)
Soweit ist deine Rechnung nachvollziehbar, nur wofür steht b? b = y? Hat b eine Einheit, also cm oder mm?
Habe Probleme mit der Schreibweise der Formel hier im Forum. Denke es gibt eine Abweichung zwischen den Funktionen, daher hier auf diese Weise:

Funktion: f(x) = 5 * sin [ Pi/5 (x-5)]
Erste Ableitung: f´(x) = -Pi * cos (Pi*x/5) (sofern diese dann richtig ist?)

LG
   ─   rno 28.08.2019 um 07:55
Ich hatte die Bogenlänge in Abhängigkeit der Länge b angegeben. Wenn man bei \(x=0\) anfängt, beträgt die horizontale Länge (\(b - 0 = b\)). Gerechnet habe ich in cm.

Die Verschiebung entlang der x-Achse mit (x-5) ist überflüssig (die geforderten Punkte liegen dann nicht mehr auf dem Funktionsgraphen).

Wenn die horizontale Länge des Fadens 100mm = 10cm betragen soll, hätte der Faden eine Länge von \(\displaystyle\int\limits_0^{10}\sqrt{1+(f'(x))^2} = 23.04893[\textrm{cm}]\) auf diesem Stück.   ─   maccheroni_konstante 28.08.2019 um 12:18
Dein Ergebnis mag in diesem Fall richtig sein, aber dann müsstest du auch mit einer cm Funktion rechnen (du hast aber eine mm-Funktion angegeben) - daher oben (falls b gesucht) die Abweichung von der ich in meiner Antwort berichte.
Oder übersehe ich was?   ─   vt5 28.08.2019 um 12:46
Wenn man bei seiner Beschreibung "Länge 100 mm, Start bei (0/0), erster Hochpunkt (2,5/5)" in Angaben von mm ausgeht, entspricht bei meiner Funktion \(f\) 1LE ^= 1mm. Wenn er nun 100mm Stoff hat, entspricht dies auf [0;100] einer Bogenlänge von \(\displaystyle\int\limits_0^{100}\sqrt{1+(f'(x))^2} \approx 230.489[\mathrm{mm}]\)
Umgewandelt in cm sind dies 23.0489. Es ist hier also egal, ob die obere Integralgrenze 100 ist und ich danach durch 10 dividiere, oder ich als obere Grenze 10 benutze.   ─   maccheroni_konstante 28.08.2019 um 14:33
Ich danke euch wirklich sehr für eure Hilfe!!!
Ich habe seit 10 Jahren nichts mehr mit Mathe zu tun gehabt, auch im Studium kein Analysis, daher weiß ich nicht, wie du das Integral berechnet hast. Ich kann die Aufstellung von 0 bis 10 cm des Integrals nachvollziehen und 23,0489 cm scheint ein sehr realistischer Wert zu sein. Zur Probe habe ich eben eine fertige textile Probe genommen, den Faden herausgelöst und mit dem Maßband nachgemessen und komme mit Verschnitt auf ca. 21 cm. Also das Ergebnis muss richtig sein. Hätte vielleicht jemand von euch den Rechenweg von der Aufstellung des Integrals bis hin zum Ergebnis?
LG   ─   rno 28.08.2019 um 14:36
@maccheroni
Ja, aber das ist Zufall, wenn wir nicht zufällig ein vielfaches einer Periode hätten, könnte ein falsches Ergebnis herauskommen...
Nochmal: vergleiche die andere Rechnung (wenn b bestimmt werden sollte, was jetzt nicht der Fall war, aber trotzdem...)

Oder ganz eindeutig, gehe von 10mm bzw 1cm aus - das wird falsch sein. Vielleicht ist dir das ja alles klar, aber Vorsicht mit solchen Sachen...

  ─   vt5 28.08.2019 um 14:38
Da hast du recht, dass man das nicht allgemein annehmen kann.   ─   maccheroni_konstante 28.08.2019 um 16:27

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Warum (x-5), so wie ich das sehe brauchst du hier gar keine Verschiebung. Auch der normale Sinus geht durch den Ursprung, dann zum ersten HP und so weiter. Die Ableitung vom Sin ist nur Cos, also das minus weglassen.

B wurde in der obigen Lösung etwas falsch angegeben, da man eigentlich Integral=100 mm lösen sollte (Funtionsgleichung in mm und Bogenlänge in mm) . Ich würde es mit 43,76 mm (ihr dürft ja sicher numerisch berechnen lassen) angegeben und es bezeichnet die Länge in x-Richtung, die deine 100 mm Linie überzeichnet, übernäht oder was auch immer.

Wir alle verstehen dich bis jetzt so, dass du einen 100mm langen Faden Sinusförmig vernähen willst...

Wenn du jedoch 100 mm in x-Richtung vernähen willst, sind deine Integralgrenzen a=0 und b=100 und die Formel bestimmt die Länge deines dafür benötigten Faden. 

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Okay, ich verstehe die Funktion, Ableitung und Rechnung jetzt soweit. Danke! :)

Ich habe jedoch keinen begrenzten Faden von 100 mm, der eingearbeitet wird, sondern auf die Länge 100 mm auf der x-Achse soll die Sinuskurve komplett verlaufen und ich will wissen, wie lang mein Faden anschließend sein wird, wenn dieser mit Wellenform auf 100 mm eingearbeitet ist.

Bsp.: Sprich mit Pythagoras ohne Rundungen sondern im ZickZack eingearbeitet hätte ich eine Fadenlänge von 282,2 mm. Wie viel also mit runden Umlenkpunkten des Fadens?   ─   rno 28.08.2019 um 10:12
Ok, schreib dochmal auf was du schon hast, (deine Integralformel) dann einfach numerisch integrieren in den bereits genannten Grenzen 0 bis 100. Das Ergebnis kann ich gerne kontrollieren.   ─   vt5 28.08.2019 um 12:29

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