Hallo!

\(\displaystyle  1-\cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha) \quad\Longleftrightarrow\quad 1 = \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)\).

Da \(\displaystyle  0\leq \alpha\leq \frac{\pi}{2}\) gilt, ist \(\displaystyle  \sin(\alpha)>0\), was bedeutet, dass \(\displaystyle  \sqrt{\sin^2(\alpha)} \big(= \vert\sin(\alpha)\vert\big) = \sin(\alpha)\) gilt. Außerdem ist

\(\displaystyle  \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{\tan(\alpha)} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\).

Somit lässt sich der gesamte Ausdruck zu \(\displaystyle  \cos(a)\) vereinfachen.

Es bezeichne \(\displaystyle  x\) die gelaufenen Meter senkrecht zum Fluss, \(\displaystyle  y\) die gelaufenen Meter parallel zum Fluss.

Prinzipiell gilt:

\(\displaystyle  2(3x+5y) \leq 900\), da wir aber eine größtmögliche Fläche einzäunen wollen, schöpfen wir das Budget komplett aus, also \(\displaystyle  2(3x+5y) = 900 \quad\Longleftrightarrow\quad y = \frac{450-3x}{5}\). Der Flächeninhalt lässt sich über \(\displaystyle  F(x) := xy = \frac{x(450-3x)}{5}\). Nun musst Du \(\displaystyle  F'(x) \overset{!}{=} 0\) berechnen.

Gruß.