Hallo,

ich komme bei einer Induktionsaufgabe nicht weiter.

\( \sum\limits^n_{i=1} i(i+2)=\dfrac{n(n+1)(2n+7)}{6} \)

Für \( n_0=1 \) kommt dann 3=3 dabei heraus. Wie geht nun der Induktionsschritt?

\( \left(\sum\limits^n_{i=1} i(i+2)\right)+(n+1)(n+3)=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+9)}{6} \)

Was fange ich damit dann an? Das kann ich noch ausmultiplizieren aber am Ende vergleiche ich immer eine Summe von i mit einem Polynom mit n. Was zeigt sich dann?

Stephan

\( \left(\sum\limits^n_{i=1} i(i+2)\right)+(n+1)(n+3)=\dfrac{2n^3+15n^2+31n+18}{6} \)

Also ich sehe da gar nichts, also kann ich auch nichts zeigen...

Edith: Moment, wenn ich die n+1 Geschichte von beiden Seite abziehe.

\( \left(\sum\limits^n_{i=1} i(i+2)\right)+(n+1)(n+3)-(n^2+4n+3)=\dfrac{2n^3+15n^2+31n+18}{6} -\dfrac{6n^2+24n+18}{6}\)

\( \Rightarrow \sum\limits^n_{i=1} i(i+2)=\dfrac{2n^3+9n^2+7n}{6} \)

\( \Rightarrow \sum\limits^n_{i=1} i(i+2)=\dfrac{(n^2+n)(2n+7)}{6} \)

\( \Rightarrow \sum\limits^n_{i=1} i(i+2)=\dfrac{n(n+1)(2n+7)}{6} \)

Das ist dann wieder die Ausgangsgleichung. Ist das der Trick?