Moin Lycidas,

nope - hierbei handelt es sich nicht konkret um ein Gesetz, sondern um ein Vorgehen, um beide Brüche (eine Bruchsumme) in einen (gemeinsamen) Bruch umzuwandeln - das kann unter Umständen, z.B. in der Physik, hilfreich sein, um Gleichungen oder Gesetze zu vereinfachen.

Ist bei dir halt alles in einem Schritt passiert - was natürlich, um das Vorgehen zu verstehen, erstmal ziemlicher Mist ist.

Hier dein Beispiel - wir fangen an mit

\(\frac{(a-b)}{(a+b)} + \frac{(a+b)}{(a-b)}\).

Die Idee ist jetzt relativ einfach:

• Brüche lassen sich dann zusammenfassen, wenn sie die gleichen Nenner besitzen (Beispiel: \(\frac{1}{2} +\frac{1}{2}=\frac{2}{2}\)).

• Brüche lassen (bzw. dürfen) sich im Allgemeinen immer dann umformen, solange der Bruch durch die Umformung nicht ungültig wird bzw. seine vorherige Aussage verliert; aus diesem Grund müssen wir, wenn wir mit Brüchen arbeiten, immer gleichzeitig im Zähler und im Nenner erweitern, kürzen, dividieren usw.

Für dein Beispiel heißt das, wenn wir nun mal beide Brüche einzeln betrachten (auf die Nenner achten!):

\(\frac{(a-b) \cdot (a-b)}{(a+b) \cdot (a-b)} \)

und

\(\frac{(a+b) \cdot (a+b)}{(a-b) \cdot (a+b)} \).

Et voilà - wir haben nun beide Brüche erfolgreich auf den gleichen Nenner (also durch das Produkt der ursprünglichen Nennerinhalte) gebracht, wodurch wir sie nun addieren können - alles andere folgt dann wie oben. 

Dieses Vorgehen ist eigentlich kein mathematisches Gesetz, wird aber manchmal auch als ach so tolle "Kreuzregel" (oder so ähnlich, findet man auf Youtube und Co.) bezeichnet, weil man quasi "über Kreuz" mal nimmt. 

Wichtiger ist hier allerdings das Verständnis dafür, wie das Vorgehen funktioniert; das lässt sich nämlich auch auf größere Bruchsummen übertragen, bei denen sich dann diese "Regel" nicht mehr so einfach anwenden lässt (bzw. es ist dann nicht so offensichtlich). 

Als Zusammenfassung also:

• Wenn du Bruchsummen wie diese (oder länger) hast und du willst / musst diese zusammen auf einen Bruch bringen, erweitere die Brüche so, dass in jedem Nenner ein Produkt der einzelnen Inhalte aus den Einzelnennern (jedes Bruches) steht - und erweitere, selbstverständlich, immer gleichzeitig oben im Zähler und unten im Nenner. :)

Das geht immer, braucht (natürlich) ein wenig Übung, und führt, wenn's einmal klappt, auf jeden Fall immer zum gewünschten Ergebnis. Ohne irgendwelchen Regel-Schnick-Schnack oder sonstiges. ;) 

Hoffe es hilft! :P

Liebe Grüße!

Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, daher multiplizierst du sie miteinander. Damit sozusagen wieder ein Gleichgewicht hergestellt wird, setzt du die Zähler ins Quadrat