Beweis für z1, z2, z ∈ ℂ

Aufrufe: 765     Aktiv: 21.12.2019 um 10:00
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Zeigen Sie allgemein, dass für beliebige Zahlen z1, z2, z  ∈ ℂ
  ____     __  __
- z 1⋅ z 2 = z 1⋅ z 2
    _______           __      ___
- (z1+z2) = z1 + z2 
           ___
- z ⋅ z ∈IR 

(die Striche über z stehen für die kommulierte Menge)

 

und wir sollen die Lösungsmenge für folgende Gleichung angeben:

z2+6 z+25=0 

 

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Hallo,

rechne es am besten einfach nach. Mit

$$ z = a+ib \\ \overline{z} = a - ib $$

Multipliziere zuerst zwei komplex konjugierte Zahlen miteinander und multipliziere dann zwei komplexe Zahlen und konjugiere dann das Ergebnis. Du wirst dann sehen das dieses gleich ist. 

Das selbe machst du auch mit der Addition.

Aus der Schule kennt man ja die p-q-Formel. Wende diese auf die quadratische Gleichung an. Damit erhälst du die Lösungen der Gleichung.

Ich gucke gerne nochmal über eure Lösung drüber.

Grüße Christian

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okay, also als Lösungsmenge habe ich jetzt:

z2 + 6z + 25 = 0 I-25
z2 + 6z = -25. -> p,q Formel

z1,2 = - (6/2) +- √(3)2 + 25
= - 3 +- √9 + 25
= -3 +- √ 34
z1 = -3 + 5,36 z2 = -3 - 5,38


Aber bei den Beweisen habe ich noch Schwierigkeiten
(Multiplikation zweier komplex konjugierter Zahlen):
(a1 - b1i) * (a2 -b2i) = ((a1a2) - (-b1* - b2)) + ((-b1a2)+ (a1*-b2))i

aber bei der Multiplikation von zwei komplexen Zahlen komme ich nicht weiter
z1*z2= ((a1a2)-(b1b2)) + ((b1a1)+(a1b2))i.
-> wie geht es dann weiter? wie konjugiere ich??

Gruß

  ─   sonnemondundsterne 19.12.2019 um 20:33
Nicht ganz. Die pq-Formel lautet
$$ x_{1/2} = - \frac p 2 \pm \sqrt{(\frac p2)^2 - q} $$
für eine quadratische Gleichung der Form
$$ x^2 + px + q = 0$$
Damit erhälst du als Lösung
$$ x_{1/2} = - 3 \pm \sqrt{9-25} \\ = -3 \pm \sqrt{-16} \\ = -3 \pm 4i $$

Beim Beweis kannst du jetzt noch das Minus herausziehen
$$ \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} = (a_1a_2- b_1b_2)- (b_1a_2 +b_2a_1)i $$
Dazu hast du
$$ z_1 \cdot z_2 =(a_1a_2- b_1b_2) + (b_1a_2 +b_2a_1)i $$
Wenn du jetzt \( z_1 \cdot z_2 \) komplex konjugierst ändert sich das Vorzeichen des Imaginärteils, also
$$ \overline{ z_1 \cdot z_2} =(a_1a_2- b_1b_2) - (b_1a_2 +b_2a_1)i $$
Klappts beim Beweis der Addition?   ─   christian_strack 20.12.2019 um 00:25
Danke!
Jetzt hat es klick gemacht!

Ich habe die Addition wie folgt bewiesen:

— —
z1+z2 = (a1-b1i) + (a2-b2i)
= (a1+a2) + (-b1 + (-b2))i
= (a1+a2) - (b1+ b2)i

z1+z2 = (a1+b1i) + (a2+b2i)
= (a1+a2) + (b1+b2i)
= (a1+a2) - (b1+ b2)i

Habe ich es richtig verstanden? und vielen Dank!

   ─   sonnemondundsterne 20.12.2019 um 16:30
Pefekt :) alles richtig.
Sehr gerne und schöne Feiertage :)   ─   christian_strack 20.12.2019 um 23:04
Oh super!
Vielen Dank und gleichfalls!   ─   sonnemondundsterne 21.12.2019 um 10:00

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