Hallo,

ich werde eine leicht abgewandelte Lösung zeigen aber ich denke so ist es am verständlichsten. Wir setzen an bei

$$ z(x,y) = ax + by + c $$

Wir haben also eine Funktion die in Abhängigkeit von \( x \) und \(y \) uns eine Höhe \( z \) liefert. Damit beschreiben wir auch eine Ebene. 

Ist dir klar wieso wir diese Funktion in Abhängigkeit von \( x \) und \( y \) wählen, anstatt beispielsweise in Abhängigkeit von \( x \) und \( z \)?

Nun berechnen wir die Steigung entlang der \(x\)-Achse. Genau das macht die partielle Ableitung in \( x \)-Richtung.

$$ \frac {\partial z(x,y)} {\partial x} = a $$

die Steigung entlang der \( x\)-Achse soll 5 betragen, also

$$ a = 5 $$

Analog erhalten wir 

$$ b = -4 $$

ist das klar?

Nun haben wir also schon

$$ z(x,y) = 5x-4y+c $$

Nun nehmen wir noch unseren gegebenen Punkt und setzen diesen ein.

$$ z(4,10)=5\cdot 4 - 4 \cdot 10 + c = -20 + c \overset{!}{=} 4$$

Dies gibt uns

$$ c= 24 $$

Damit erhalten wir 

$$ z(x,y) = 5x-4y+24 $$

Wenn du deine Musterlösung ausklammerst, erhälst du die selbe Gleichung.

Deine Lösung erhält man aus relativ ähnlicher herangehensweise. Das \( D \) in deiner Koordinatengleichung hat etwas mit dem Abstand zum Ursprung zu tun. Wenn der Normalenvektor normiert ist, dann hat die Ebene genau den Abstand \( |D| \) vom Ursprung.

Grüße Christian