Kann mir jemand mit folgender Aufgabe helfen?

Aufrufe: 687     Aktiv: 29.01.2020 um 17:51

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Ich dachte mir, dass ich die Aufgabe mit der Kordinatenform 

ax+by+cz= D lösen könnte

a, b und c zeigen ja die Steigung in die jeweilige Richung oder? 

Wenn ich also die Punkte und die Steigungen einsetzen würde, hätte ich ja:

5*4-4*10+c*4=D

Wie soll ich aber dann die Gleichung lösen, wenn da zwei Unbekannte sind.

Was zeigt D überhaupt? Im graphschen Sinne meine ich.

Die Lösung ist: z=4+5(x-4)-4(y-10)

Aber wie ist man dadrauf gekommen?

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Die Koeffizienten vor den Klammern sind trivial – setzt doch mal den Punkt \(\displaystyle (4,10,4)\) ein und Du solltest \(\displaystyle 4 = 4\) erhalten, also verläuft die Ebene durch den Punkt und erfüllt alle Bedingungen.   ─   einmalmathe 26.01.2020 um 15:51

Warum sind die Koeffizienten vor den Klammern trivial und wo soll ich die Punkte einsetzen? Weißt du überhaupt, wie man auf die Lösung kommt?   ─   itsmeagain 26.01.2020 um 15:53

\(\displaystyle 5(x-4)\), dieser Teil steht für die \(\displaystyle x\)-Komponente – behandle sie einfach wie eine lineare Funktion. Welche Steigung besitzt sie? Das selbe machst Du mit der anderen Klammer. Wenn Du den besagten Punkt einsetzt, bekommst Du die entsprechende Gleichheit raus, also verläuft die Ebene durch den Punkt. Zur Not kannst Du natürlich partielle Ableitungen bilden um das selbe am Ende festzustellen.   ─   einmalmathe 26.01.2020 um 15:54

Wie kommt man aber überhaupt auf die 5(x-4)? 5 ist die Steigung und woher die x-4. Guck dir nur die Aufgabe an, nicht was ich geschrieben habe. Wie würdest du die Aufgabe lösen.   ─   itsmeagain 26.01.2020 um 15:59
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Hallo,

ich werde eine leicht abgewandelte Lösung zeigen aber ich denke so ist es am verständlichsten. Wir setzen an bei

$$ z(x,y) = ax + by + c $$

Wir haben also eine Funktion die in Abhängigkeit von \( x \) und \(y \) uns eine Höhe \( z \) liefert. Damit beschreiben wir auch eine Ebene. 

Ist dir klar wieso wir diese Funktion in Abhängigkeit von \( x \) und \( y \) wählen, anstatt beispielsweise in Abhängigkeit von \( x \) und \( z \)?

Nun berechnen wir die Steigung entlang der \(x\)-Achse. Genau das macht die partielle Ableitung in \( x \)-Richtung.

$$ \frac {\partial z(x,y)} {\partial x} = a $$

die Steigung entlang der \( x\)-Achse soll 5 betragen, also

$$ a = 5 $$

Analog erhalten wir 

$$ b = -4 $$

ist das klar?

Nun haben wir also schon

$$ z(x,y) = 5x-4y+c $$

Nun nehmen wir noch unseren gegebenen Punkt und setzen diesen ein.

$$ z(4,10)=5\cdot 4 - 4 \cdot 10 + c = -20 + c \overset{!}{=} 4$$

Dies gibt uns

$$ c= 24 $$

Damit erhalten wir 

$$ z(x,y) = 5x-4y+24 $$

Wenn du deine Musterlösung ausklammerst, erhälst du die selbe Gleichung.

Deine Lösung erhält man aus relativ ähnlicher herangehensweise. Das \( D \) in deiner Koordinatengleichung hat etwas mit dem Abstand zum Ursprung zu tun. Wenn der Normalenvektor normiert ist, dann hat die Ebene genau den Abstand \( |D| \) vom Ursprung.

Grüße Christian

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Ja, ich habe es verstanden. Ich wusste nicht (bzw. habe nicht daran gedacht), dass Ebenen durch lineare dreidimensioanalen Funktionen beschreiben werden.   ─   itsmeagain 29.01.2020 um 16:56

Sehr gut :)   ─   christian_strack 29.01.2020 um 17:51

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