Hallo,
ich werde eine leicht abgewandelte Lösung zeigen aber ich denke so ist es am verständlichsten. Wir setzen an bei
$$ z(x,y) = ax + by + c $$
Wir haben also eine Funktion die in Abhängigkeit von \( x \) und \(y \) uns eine Höhe \( z \) liefert. Damit beschreiben wir auch eine Ebene.
Ist dir klar wieso wir diese Funktion in Abhängigkeit von \( x \) und \( y \) wählen, anstatt beispielsweise in Abhängigkeit von \( x \) und \( z \)?
Nun berechnen wir die Steigung entlang der \(x\)-Achse. Genau das macht die partielle Ableitung in \( x \)-Richtung.
$$ \frac {\partial z(x,y)} {\partial x} = a $$
die Steigung entlang der \( x\)-Achse soll 5 betragen, also
$$ a = 5 $$
Analog erhalten wir
$$ b = -4 $$
ist das klar?
Nun haben wir also schon
$$ z(x,y) = 5x-4y+c $$
Nun nehmen wir noch unseren gegebenen Punkt und setzen diesen ein.
$$ z(4,10)=5\cdot 4 - 4 \cdot 10 + c = -20 + c \overset{!}{=} 4$$
Dies gibt uns
$$ c= 24 $$
Damit erhalten wir
$$ z(x,y) = 5x-4y+24 $$
Wenn du deine Musterlösung ausklammerst, erhälst du die selbe Gleichung.
Deine Lösung erhält man aus relativ ähnlicher herangehensweise. Das \( D \) in deiner Koordinatengleichung hat etwas mit dem Abstand zum Ursprung zu tun. Wenn der Normalenvektor normiert ist, dann hat die Ebene genau den Abstand \( |D| \) vom Ursprung.
Grüße Christian
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