Geometrische Transformation

Aufrufe: 700     Aktiv: 21.03.2020 um 11:44
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Hey jo, 

ich struggel zurzeit immer noch mit der Berechnung von Transformationen im Zweidimensionalen.

Die Aufgabe lautet: "Drehung um den Winkel 3/2π um den Punkt P = (3,2). Berechnen Sie die Abbildungsvorschrift dieser Transformation im Zweidimensonalen." 

P ist ein Vektor. Ich weiß, dass die Drehung immer um den Ursprung geht & die Lösung lautet:

1. Verschieben um (-3,-2) 

2. Drehung um den Winkel 3/2π

3. Wieder zurückschieben um (3,2)

Ist das immer dasgleiche Vorgehen ? Wie gehe ich z.B. bei einer Scherung vor (nächste Aufgabe)?

Gibt es ein allgemeines "Rezept" für derartige Aufgaben?

Vielen Dank für eure Antworten & Mühen!

LG 

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Morgen!

Eine Drehung erfolgt immer am leichtesten als Matrixmultiplikation (habt ihr sowas gelernt?)

\(M_{rot}=\left( \matrix{\text{cos}\alpha & -\text{sin} \alpha \\ \text{sin} \alpha & \text{cos}\alpha} \right)\) von links mit dem zu rotieren Vektor multipliziert rotiert diesen.

Scherungen entlang der x- bzw. y-Achse können ebenso als Matrix zur Multiplikation dargestellt werden:

\(S_{x}=\left(\matrix{1 & s \\ 0 & s}\right)\) für die Scherung entlang der x-Achse und

\(S_{y}=\left(\matrix{1 & 0 \\s&1}\right)\).

Dabei wir die x-Koordinate von x auf \(x+sy\), bzw. die y-Koordinate von y auf \(y+xs\) abgebildet.

Hilft das?

MoNil

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Servus MoNil, vielen Dank für die schnelle Antwort. Ja, die Trafomatrix haben wir auch schon gelernt. Gibt es irgendwelche Möglichkeiten, wie man sich das am Besten visuell veranschaulichen kann ?:)   ─   jonny_p 21.03.2020 um 10:50
Hm, ja: Nehmen wir mal Winkel \(=90\deg =\frac{\pi}{2}\), dann kriegen wir \(M_{rot}=\left(\matrix{0 & -1 \\1&0}\right)\). Mit Matrixmultiplikation sieht man dann was x war wird -y, was y war wird x. Wenn Du dann der Einfachheit den Vektor \(\left( \matrix{1 \\ 0} \right)\) ansiehst, dann endet der bei \(\left( \matrix{0 \\ 1} \right)\)... außerdem ist die Determinante von \(M_{rot}\) immer gleich \(1\), wegen \(cos^{2}(\alpha)+sin^{2}(\alpha)=1\), d.h. die Multiplikation "verzerrt" nichts, ist "längentreu".   ─   monil 21.03.2020 um 11:01
Ah okay, danke dir, das hat mir echt geholfen!
  ─   jonny_p 21.03.2020 um 11:29
Na, das freut mich :-)
Übrigens, ganz allgemein, manchmal hilft es einfache Zahlen in abstrakte Formeln einzusetzen und zu schauen was so passiert (wie das mit der Rotation) - ein bisschen mit den Formeln "rumspielen" sozusagen
Viele Grüße,
MoNil   ─   monil 21.03.2020 um 11:42

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