Hallo,

ich habe eine Frage zur Bestimmung einer komplexen Fourierreihe mit anschließender Umrechnung in die reelle Form. Es soll nicht direkt die reelle Fourierreihe bestimmt werden.

Hier die Funktion und die komplexe Fourierreihe

\(f(x)=\frac{x}{\pi}\)      im Intervall \([-\pi;\pi]\)

\(f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{inx}\)

\(c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\)

Es muss jetzt der Fourierkoeffizient \(c_{n}\) bestimmt werden und eine Fallunterscheidung durchgeführt werden für \(n=0\) und \(n\neq0\)

\(n=0:\)

\(c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{x}{\pi}e^{-inx}=\frac{1}{2\pi^{2}}\int_{-\pi}^{\pi}xe^{-inx}=\frac{1}{2\pi^{2}}\int_{-\pi}^{\pi}x=\frac{1}{2\pi^{2}}[\frac{1}{2}x^{2}]_{-\pi}^{\pi}=0\)

Das bedeutet \(c_{0}=0\)

\(n\neq0:\)

\(c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{x}{\pi}e^{-inx}=\frac{1}{2\pi^{2}}\int_{-\pi}^{\pi}xe^{-inx}=\frac{1}{2\pi^{2}}\left[\left(\frac{-inx-1}{-n^{2}}\right)e^{-inx}\right]_{-\pi}^{\pi}\)

\(=-\frac{1}{2n^{2}\pi^{2}}((-in\pi-1)e^{-in\pi}-((-in(-\pi)-1)e^{-in(-\pi)}))=-\frac{1}{2n^{2}\pi^{2}}((-in\pi-1)e^{-in\pi}-((-in(-\pi)-1)e^{in(\pi)}))\)

Jetzt muss wegen der euler´schen Identität \(e^{-in\pi}\) eine Fallunterscheidung durchgeführt werden, da \(e^{-in\pi}\) gleich \(1\) oder \(-1\) ist.

\(e^{-in\pi}=\cos(n\pi)-\sin(n\pi)=\cos(n\pi)=\{_{-1 \text{ungerade n}}^{1 \text{gerade n}}\)

Wenn ich aber jetzt eine Fallunterscheidung zwischen geraden und ungeraden ganzen Indexzahlen durchführe, dann bekomme ich doch zwei Fourierkoeffizienten heraus? Wie rechne ich diese anschließend zu einem reellen Fourrierkoeffizient um?

Kann mir jemand helfen? Ich weiß überhaupt nicht weiter.

Viele Grüße