Komplexe Fourierreihe bestimmen

Erste Frage Aufrufe: 761     Aktiv: 17.04.2020 um 20:22

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Hallo,

ich habe eine Frage zur Bestimmung einer komplexen Fourierreihe mit anschließender Umrechnung in die reelle Form. Es soll nicht direkt die reelle Fourierreihe bestimmt werden.

Hier die Funktion und die komplexe Fourierreihe

\(f(x)=\frac{x}{\pi}\)      im Intervall \([-\pi;\pi]\)

\(f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{inx}\)

\(c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\)

Es muss jetzt der Fourierkoeffizient \(c_{n}\) bestimmt werden und eine Fallunterscheidung durchgeführt werden für \(n=0\) und \(n\neq0\)

\(n=0:\)

\(c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{x}{\pi}e^{-inx}=\frac{1}{2\pi^{2}}\int_{-\pi}^{\pi}xe^{-inx}=\frac{1}{2\pi^{2}}\int_{-\pi}^{\pi}x=\frac{1}{2\pi^{2}}[\frac{1}{2}x^{2}]_{-\pi}^{\pi}=0\)

Das bedeutet \(c_{0}=0\)

\(n\neq0:\)

\(c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{x}{\pi}e^{-inx}=\frac{1}{2\pi^{2}}\int_{-\pi}^{\pi}xe^{-inx}=\frac{1}{2\pi^{2}}\left[\left(\frac{-inx-1}{-n^{2}}\right)e^{-inx}\right]_{-\pi}^{\pi}\)

\(=-\frac{1}{2n^{2}\pi^{2}}((-in\pi-1)e^{-in\pi}-((-in(-\pi)-1)e^{-in(-\pi)}))=-\frac{1}{2n^{2}\pi^{2}}((-in\pi-1)e^{-in\pi}-((-in(-\pi)-1)e^{in(\pi)}))\)

Jetzt muss wegen der euler´schen Identität \(e^{-in\pi}\) eine Fallunterscheidung durchgeführt werden, da \(e^{-in\pi}\) gleich \(1\) oder \(-1\) ist.

\(e^{-in\pi}=\cos(n\pi)-\sin(n\pi)=\cos(n\pi)=\{_{-1 \text{ungerade n}}^{1 \text{gerade n}}\)

Wenn ich aber jetzt eine Fallunterscheidung zwischen geraden und ungeraden ganzen Indexzahlen durchführe, dann bekomme ich doch zwei Fourierkoeffizienten heraus? Wie rechne ich diese anschließend zu einem reellen Fourrierkoeffizient um?

Kann mir jemand helfen? Ich weiß überhaupt nicht weiter.

 

Viele Grüße

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Student, Punkte: 14

 
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Um für gerade \(n\) den Wert 1 und sonst den Wert -1 zu erhalten, bietet sich \((-1)^n\) an.

Wenn du alles vereinfachst, kommst du so auf \(c_n=\frac{(-1)^ni}{\pi n}\)

Um das in eine reelle Fourierreihe umzuwandelln, kannst du wieder die Eulersche Identität anwenden. Wenn du immer die Summanden für \(n\) und \(-n\) betrachtest, kürzt sich eine Menge weg.

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Student, Punkte: 5.33K

 

Hallo sterecht,

vielen Dank für die Hilfe. Ich konnte die Lösung jetzt weiter berechnen. Ich habe allerdings noch Rückfragen.

Du schreibst:

Um das in eine reelle Fourierreihe umzuwandelln, kannst du wieder die Eulersche Identität anwenden. Wenn du immer die Summanden für n und −n betrachtest, kürzt sich eine Menge weg.

Wie kann ich die reelle Form bestimmen mithilfe der euler´schen Idendentität. Dafür gibt es ja Umrechnungsformeln. Und was meinst du mit den Summanden -n und n wo soll sich da etwas wegkürzen?
  ─   hello449 16.04.2020 um 23:31

Wenn du Umrechnungsformeln kennst, kannst du diese natürlich auch anwenden, das ist vermutlich einfacher.   ─   sterecht 17.04.2020 um 09:50

Ja, ich habe Umrechnungsformeln benutzt. Kannst du aber trotzdem erklären, wie du das mit der euler´schen Identität gemeint hast? Und was meinst du mit den Summanden -n und n wo soll sich da etwas wegkürzen?   ─   hello449 17.04.2020 um 18:32

Es ist \(\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{inx}=\sum_{n=1}^\infty(c_ne^{inx}+c_{-n}e^{-inx})\\=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^ni}{n\pi}(\cos(nx)+i\sin(nx))-\frac{(-1)^ni}{n\pi}(\cos(nx)-i\sin(nx))\\=\sum_{n=1}^\infty\frac{2\cdot(-1)^{n+1}}{n\pi}\sin(nx)\)   ─   sterecht 17.04.2020 um 18:59

Hallo sterecht,

vielen Dank für die Hilfe. Ich habe es verstanden.


Viele Grüße
  ─   hello449 17.04.2020 um 20:22

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