Hallo,
ich habe eine Frage zur Bestimmung einer komplexen Fourierreihe mit anschließender Umrechnung in die reelle Form. Es soll nicht direkt die reelle Fourierreihe bestimmt werden.
Hier die Funktion und die komplexe Fourierreihe
\(f(x)=\frac{x}{\pi}\) im Intervall \([-\pi;\pi]\)
\(f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{inx}\)
\(c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\)
Es muss jetzt der Fourierkoeffizient \(c_{n}\) bestimmt werden und eine Fallunterscheidung durchgeführt werden für \(n=0\) und \(n\neq0\)
\(n=0:\)
\(c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{x}{\pi}e^{-inx}=\frac{1}{2\pi^{2}}\int_{-\pi}^{\pi}xe^{-inx}=\frac{1}{2\pi^{2}}\int_{-\pi}^{\pi}x=\frac{1}{2\pi^{2}}[\frac{1}{2}x^{2}]_{-\pi}^{\pi}=0\)
Das bedeutet \(c_{0}=0\)
\(n\neq0:\)
\(c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{x}{\pi}e^{-inx}=\frac{1}{2\pi^{2}}\int_{-\pi}^{\pi}xe^{-inx}=\frac{1}{2\pi^{2}}\left[\left(\frac{-inx-1}{-n^{2}}\right)e^{-inx}\right]_{-\pi}^{\pi}\)
\(=-\frac{1}{2n^{2}\pi^{2}}((-in\pi-1)e^{-in\pi}-((-in(-\pi)-1)e^{-in(-\pi)}))=-\frac{1}{2n^{2}\pi^{2}}((-in\pi-1)e^{-in\pi}-((-in(-\pi)-1)e^{in(\pi)}))\)
Jetzt muss wegen der euler´schen Identität \(e^{-in\pi}\) eine Fallunterscheidung durchgeführt werden, da \(e^{-in\pi}\) gleich \(1\) oder \(-1\) ist.
\(e^{-in\pi}=\cos(n\pi)-\sin(n\pi)=\cos(n\pi)=\{_{-1 \text{ungerade n}}^{1 \text{gerade n}}\)
Wenn ich aber jetzt eine Fallunterscheidung zwischen geraden und ungeraden ganzen Indexzahlen durchführe, dann bekomme ich doch zwei Fourierkoeffizienten heraus? Wie rechne ich diese anschließend zu einem reellen Fourrierkoeffizient um?
Kann mir jemand helfen? Ich weiß überhaupt nicht weiter.
Viele Grüße
vielen Dank für die Hilfe. Ich konnte die Lösung jetzt weiter berechnen. Ich habe allerdings noch Rückfragen.
Du schreibst:
Um das in eine reelle Fourierreihe umzuwandelln, kannst du wieder die Eulersche Identität anwenden. Wenn du immer die Summanden für n und −n betrachtest, kürzt sich eine Menge weg.
Wie kann ich die reelle Form bestimmen mithilfe der euler´schen Idendentität. Dafür gibt es ja Umrechnungsformeln. Und was meinst du mit den Summanden -n und n wo soll sich da etwas wegkürzen? ─ hello449 16.04.2020 um 23:31