\(x^3+5x^2+2x-8=-x^4+5x^2-4 \)
\(x^3+5x^2+2x-8+x^4-5x^2+4=0 \)
\(x^4+x^3+5x^2-5x^2+2x+4-8=0 \)
\(x^4+x^3+2x-4=0 \)

hier musst du nun raten, ob eine ganzzahlige Lösung existiert. Du beginnst mit \(x=0\) und schaust, ob die Gleichung erfüllt ist, dann machst du weiter mit \(1,2,-1,-2\) usw. bis eine Lösung gefunden ist.

Dann solltest du herausfinden, dass \(x=1\) und \(x=-2\) eine Lösung sind.

Mit Polynomdivision, bekommt man nun heraus:

\(x^4+x^3+2x-4=(x-1)(x+2)(x^2+2)\)

Nun können noch die zwei komplexen Lösungen von \(x^2+2=0\) berechnet werden.

Du erhälst:

\(0=x^4+x^3+2x-4\)

1) Nullstelle raten: \(x_1=1\)

2) Polynomdivision: \((x^4+x^3+2x-4):(x-1)=x^3+2x^2+2x+4\)

3) Nullstelle raten: \(x_2=-2\)

4) Polynomdivision: \((x^3+2x^2+2x+4):(x+2)=x^2+2\)

5) p-q-Formel: \(x_{3,4}=\pm\sqrt{-2}\)

6) Fazit: Es gibt nur 2 reele Nullstellen: \(x_1=1\) und \(x_2=-2\) sind also die Schnittpunkte deiner Funktionen. (Zur Kontrolle kannst du das Ganze auch plotten)

Das wäre der ausführliche Rechenweg. Geht aber auch schneller indem man direkt beide Nullstellen "errät"