So das sieht doch schon sehr gut aus :) Die Zeilenstufenform ist auf jeden Fall schon mal korrekt. 

Jetzt müssen wir beim Rang der Matrix aufpassen. Es gibt die Koeffizientenmatrix \( A \) und es gibt die erweiterte Koeffizientenmatrix \( A|b \). 

Die Koeffizientenmatrix ist in deinem Fall 

$$ \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$

und die erweiterte 

$$ \left( \begin{matrix} 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ a \end{matrix} \right) $$

Die Koeffizientenmatrix ist unabhängig von dem Lösungsvektor und hat immer den Rang \( 3 \). Weil die Zeilenstufenform 3 nicht-Nullzeilen hat. 

Aber ich denke in deiner Aufgabenstellung ist die erweiterte Koeffizientenmatrix gemeint. Und da hast du dann auch absolut recht. Für \( a \neq 5 \) hat die erweiterte Koeffizientenmatrix den Rang \(3 \) und ansonsten \( 4 \).

Bis hier hin also alles richtig :)

Nun muss nur noch der Lösungsvektor aufgestellt werden. Dafür überlege dir mal zuerst, was passiert wenn \( a =5 \) ist und was passiert wenn \( a \neq 5 \) ist.

Grüße Christian