Konvergenzverhalten von Folgen

Aufrufe: 112     Aktiv: vor 2 Wochen, 6 Tage

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Hallo, ich habe die erste Folge gelöst und bekomme raus, dass sie keinen Grenzwert besitzt, da gilt: +,- unendlich. Dazu habe ich eine Tabelle für gerade und eine weitere Tabelle für die ungeraden Exponeten angelegt und die Zahlen eingesetzt.

 

Der Dozent aber meinte, ich soll das in die |an-A|<E einsetzten und es widerlegen. Jetzt bin ich verwirrt. Mit dem Schritt oben widerlege ich es doch auch oder nicht?

 

Und für die Teilaufgabe c habe ich n^3 ausgeklammert und 2/8 raus. Was sagt mir nun die Zahl?

 

gefragt vor 3 Wochen
k
kundi,
Student, Punkte: 24
 

Die Zahl ist der Grenzwert.   -   digamma, verified vor 3 Wochen
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1 Antwort
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Intuition kann in der Mathematik oft trügen. Also muss man sich immer streng an die Definitionen und Sätze halten. Außerdem ist das Einsetzen von Zahlen so gut wie nie ein Beweis - beim Thema Grenzwerte schon gar nicht. Die Folge könnte sich ja für sehr große Werte völlig anders verhalten als für kleine. Man kann sich nur sicher sein, wenn man formal korrekt vorgeht.

Du möchtest zeigen, dass die Folge keinen Grenzwert besitzt. Dann nehmen wir doch mal an, die Folge hätte einen Grenzwert. Nennen wir diesen Genzwert \(A\).

Nun geben wir uns \(\varepsilon = 1 > 0 \) vor. Wenn \(A\) tatsächlich der Grenzwert wäre, dann müsste es nach Definition ein \(n_0 \in \mathbb{N}\) geben, sodass für alle \(n \ge n_0\) gilt \( \vert (-2)^n - A \vert < 1 \). Wir erhalten also

\( 4 \le \vert (2^{2n_0+1}+A)+(2^{2n_0}-A) \vert \) \( \le \vert 2^{2n_0+1}+A \vert + \vert 2^{2n_0} - A \vert \) \( = \vert -2^{2n_0+1}-A \vert + \vert 2^{2n_0} - A \vert \) \( = \vert (-2)^{2n_0+1} - A \vert + \vert (-2)^{2n_0} - A \vert \) \( < 1 + 1 = 2  \)

Dies ist ein offensichtlicher Widerpruch, also muss unsere Annahme, dass die Folge einen Grenzwert hat, falsch sein.

geantwortet vor 3 Wochen
g
anonym
Student, Punkte: 1.5K
 

Ich hab in meiner vorherigen Lösung ein paar Exponenten vergessen. Das hab ich jetzt mal korrigiert. Entschuldige, wenn das zu Verwirrung geführt hat.   -   anonym, vor 3 Wochen

Hi woher kommt die 4 <= ?
  -   kundi, vor 2 Wochen, 6 Tage

\(2^{2n_0+1}\) und \(2^{2n_0}\) sind beide mindestens \(2\), dann ist ihre Summe mindestens \(4\). Man hätte auch ne genauere Abschätzung machen können, aber das braucht man für den Beweis nicht.   -   anonym, vor 2 Wochen, 6 Tage
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