Intuition kann in der Mathematik oft trügen. Also muss man sich immer streng an die Definitionen und Sätze halten. Außerdem ist das Einsetzen von Zahlen so gut wie nie ein Beweis - beim Thema Grenzwerte schon gar nicht. Die Folge könnte sich ja für sehr große Werte völlig anders verhalten als für kleine. Man kann sich nur sicher sein, wenn man formal korrekt vorgeht.

Du möchtest zeigen, dass die Folge keinen Grenzwert besitzt. Dann nehmen wir doch mal an, die Folge hätte einen Grenzwert. Nennen wir diesen Genzwert \(A\).

Nun geben wir uns \(\varepsilon = 1 > 0 \) vor. Wenn \(A\) tatsächlich der Grenzwert wäre, dann müsste es nach Definition ein \(n_0 \in \mathbb{N}\) geben, sodass für alle \(n \ge n_0\) gilt \( \vert (-2)^n - A \vert < 1 \). Wir erhalten also

\( 4 \le \vert (2^{2n_0+1}+A)+(2^{2n_0}-A) \vert \) \( \le \vert 2^{2n_0+1}+A \vert + \vert 2^{2n_0} - A \vert \) \( = \vert -2^{2n_0+1}-A \vert + \vert 2^{2n_0} - A \vert \) \( = \vert (-2)^{2n_0+1} - A \vert + \vert (-2)^{2n_0} - A \vert \) \( < 1 + 1 = 2  \)

Dies ist ein offensichtlicher Widerpruch, also muss unsere Annahme, dass die Folge einen Grenzwert hat, falsch sein.