Konvergenz einer Folge an

Erste Frage Aufrufe: 504     Aktiv: 18.05.2020 um 19:49
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Gegeben ist doe Folge an:= (x + (-1)^n)*n

x ist eine relle feste Zahl und n ist eine natürliche Zahl.

Für welche Werte von x konvergiert diese Folge uneigentlich und gegen was?

 

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Student, Punkte: 10

 
Wenn man mal einsetzt ohne x zu bestimmen erhält man:
a1 = x-1
a2 = 2x+4
a3 = 3x-9
a4 = 4x+16
a5= 5x -25, usw. also hinten hat man die Quadratzahlen mit Vorzeichenwechsel und vorne eine variable x*n

Ich weiß nicht wie man darauf kommt für welche Werte x die Folge konvergiert.   ─   goeket 18.05.2020 um 19:39
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1 Antwort
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es gibt drei fälle

1. wenn -1<=x<=1, dann hat (x + (-1)^n) für gerades und ungerades n entweder unterschiedliches vorzeichen oder für ungerades oder gerades n ist der ausdruck 0
dann gibt es eine teilfolge, die gegen unendlich/0 konvergierte und eine, die gegen 0/-unendlich konvergiert, also wegen zwei verschiedenen grenzwerten insgesamt nicht konvergent

2. wenn x>1, dann ist (x + (-1)^n)>0 für alle n, also konvergiert die folge gegen unendlich weil man für jedes M ein N findesn kann sodass (x + (-1)^n)*n >M für alle n>N

3. analog wenn x<-1

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