Die (i) fragt nach allgemeinen Bedingungen für eine Basis des \(\mathbb{R}^3\). Da \( dim( \mathbb{R}^3) = 3 \) ist, reichen hier die Bedingungen: Es müssen genau drei Vektoren sein. Und die Vektoren müssen linear unabhängig sein.
Bei (ii) musst du also nun die Vektoren auf lineare Unabhängigkeit prüfen. Das bedeutet, du musst überprüfen, welche Lösungen die Gleichung \( \lambda_1 a + \lambda_2 b + \lambda_3 c = 0 \) besitzt. Hat sie nur die triviale Lösung \( \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 \), dann sind die Vektoren \(a,b,c\) linear unabhängig und bilden dann nach (i) eine Basis des \( \mathbb{R}^3 \). Wenn nicht, dann sind sie linear abhängig und bilden keine Basis.
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