Wie bestimme den zu einem (doppelt vorkommenden) Funktionswert den dazugehörigen X-Wert?

Erste Frage Aufrufe: 573     Aktiv: 01.06.2020 um 20:22
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(Sehr flüchtige Skizze: Interessant ist lediglich der rote Bereich, also f(t) >= 80. Dabei möchte ich herausfinden, wie "alle" zugehörigen t-Werte für f(t) >= 80 herausfinde.)

Wir sind im Unterricht ungefähr so weit, dass wir Kurvendiskussionen (Symmetrie, Ableitungen, Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkt, Grenzverhalten/limes) beurteilen und berechnen können und mithilfe dieser Werkzeuge (noch nicht der Integralrechnung) sollen wir den roten Bereich bestimmen bzw. Anfangs-t- Wert für f(t) >= 80 und ebenfalls den letzten t-Wert, für den f(t) >= 80 ist.

Der Funktionsterm lautet f(t) = t³ - 18t² + 81t (Verlauf deckt sich NICHT mit der Skizze) und wenn ich f(t) auf 80 setze, erhalte ich zwar t  = 1,33 (das erste Mal im Verlauf des Graphen, dass f(t) >= 80 ist), aber nicht den Endwert.

Zusatzinformationen: t = 60 Minuten | f(t) = die Wirkstoffkonzentration eines Medikaments im Blut (mg/L) | 80mg/L = Schmerzlosigkeit, wie lange diese anhält sollen wir angenähert bestimmten (ich gehe mal davon aus, dass damit rechnerisch gemeint ist -jedoch nur mit den Methoden, die wir bisher "kennen" und nicht mit dem GTR, den wir lediglich für die Polynomdivision und Graphenskizzierung/Überprüfung nutzen dürfen)

 

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Wenn du keinen GTR benutzen darfst: Da hilft glaube ich nur, ausprobieren. Ablesen am Graph, wenn das erlaubt ist, oder Wertetabelle erstellen.

Aber wenn der GTR nicht benutzt werden darf: Wie hast du die erste Lösung gefunden?

 

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PS: Bist du dir sicher über den Funktionsterm und den Zeitraum 60 Minuten? Bei t = 9 ist der Wert nämlich wieder auf 0 und steigt dann ins Unendliche. Nach 60 Minuten hat der Patient 156 g/L Medikament im Blut. Da ist er dann wahrscheinlich tot.   ─   digamma 01.06.2020 um 19:10
Ja, ich vergas zu erwähnen, dass die Einnahme des Medikaments bei t = 0 einmalig stattfindet und der Graph nach t=9 irrelevant für die Bearbeitung unserer Aufgaben sei.
Den GTR sollen wir nicht zum ablesen der Lösungen benutzen, so wie ich das verstanden habe, sondern lediglich für Berechnungen. Etwas missverständlich ausgedrückt von meiner Seite aus.

Nachdem ich nochmals in meine Rechnungen geguckt habe: Ich hab die Lösung durch "zufällig" bei einem inkorrekten Rechenschritt erhalten, bei dem ich 80 = 60t durch 60 geteilt habe.   ─   solidice1993 01.06.2020 um 19:57
Und was hat es dann mit den 60 Minuten auf sich?   ─   digamma 01.06.2020 um 20:02
T ist die Zeit in Stunden seit der Einnahme. In vorherigen Aufgaben aus dieser Übungsklausur mussten wir die Wirkstoffkonzentration nach 45 Minuten berechnen, ich schätze der "glückliche" Fehler entstand durch eine Herleitung dessen.

Danke für das konkrete Nachfragen nach der "Fehlerquelle", dadurch verstehe ich meinen Fehler selbst besser. :)   ─   solidice1993 01.06.2020 um 20:18

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Versuch am besten mal, die Nullstellen von \(g(t):= f(t)-80 \) zu bestimmen. Du kannst die Nullstelle \(t=5\) raten und dann eine Polynomdivision durchführen. Das verbleibende Polynom ist dann normiert und hat Grad 2, man kann also seine Nullstellen mit der pq-Formel bestimmen.

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Danke, dieser Lösungsschritt hat mir geholfen, ich wäre nicht auf die Nullstelle raten gekommen, da zwar "angenähert" in der Aufgabe der Wert gefordert ist, jedoch ich fest davon ausging, dass es berechnet werden muss mit den "vorliegenden Informationen".

Leider weiß ich nicht, was mit g(t):= f(t)-80 gemeint ist: Soll ich die Nullstellen zur Funktion g(t) berechnen, hab mir nochmal Polynomdivision angeguckt und meinte tatsächlich, dass wir polyroots mit dem GTR nutzen dürfen (sprich: die PQ-Formel). Polynomdivision haben wir im Unterricht bisher nicht gemacht in diesem Zusammenhang, aber es hört sich so an, als sollte ich mir diese Methode aneignen?

Vielen Dank für die Mühe zum Antworten - ich fühle mich jetzt definitiv ein orientierter als zum Zeitpunkt der Fragestellung!   ─   solidice1993 01.06.2020 um 20:06
Genau, du sollst die Nullstellen von \(g\) berechnen, denn das sind ja genau die Stellen, an denen \(f\) den Wert \(80\) annimmt.
Wenn du die Aufgabe ohne Polynomdivision lösen möchtest, dann kannst du dich näherungsweise an die Nullstellen herantasten durch Ausprobieren von Werten. Das ist aber sehr umständlich.   ─   42 01.06.2020 um 20:22

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