Konvergente Folgen im Vektorraum: Grenzwert der Norm Xn = Norm des Grenzwertes für Xn?

Erste Frage Aufrufe: 558     Aktiv: 18.07.2020 um 01:19
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Wahr oder falsch?

Sei \( x_{n}\) Konvergente Folgen im Vektorraum:
\( lim_{n\rightarrow _\infty} ||X_{n}|| = || lim_{n\rightarrow _\infty} X_{n}|| \)

Bin mir etwas unsicher, ob ich in dem Fall das nehmen kann, wonach die Folge Konvergiert und die Norm dessen zeitgleich die Norm der Folge X ist. Mein erster Eindruck war "Ja", aber ich bin mir leider nicht zu 100% sicher, weil mir keine Definition einfällt, die ich darauf ohne "schelechtes Gewissen" anwenden könnte. Hat jemand die korrekte Antwort inklusive einer (...leicht zu verstehenden :D ) Begründung? Wäre super :)


Liebe Grüße :>

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Sei \(\lim\limits_{n\to\infty}X_n=X\). Angenommen \(\lim\limits_{n\to\infty}||X_n||>||X||\). Dann gilt

\(\lim\limits_{n\to\infty}||X_n-X||\geq\lim\limits_{n\to\infty}||X_n||-||X||>0\).

Das ist aber ein Widerspruch dazu, dass \(X_n\) gegen \(X\) konvergiert.

Falls nun \(\lim\limits_{n\to\infty}||X_n||<||X||\) so folgt analog:

\(\lim\limits_{n\to\infty}||X_n-X||\geq||X||-\lim\limits_{n\to\infty}||X_n||>0\).

Also muss \(\lim\limits_{n\to\infty}||X_n||=||X||=||\lim\limits_{n\to\infty}X_n||\) gelten.

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Alles klar, hab verstanden, vielen Dank :)   ─   philthy 18.07.2020 um 01:19

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