Hallo,

in deinem Beispiel stimmt das natürlich, aber du sollst es ja allgemein zeigen. Wenn du als \(A\) einfach die gesamten natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) nimmst, kriegst du größte Probleme beim Bilden der reflexiven Hülle bezüglich Endlichkeit! ;)

Dass die transitive Hülle trotzdem endlich ist, ist relativ klar, denn wenn \(R\) endlich ist, also \(|R|=n\) für ein beliebiges \(n\in\mathbb{N}\) gilt, dann können sowieso nur \(2n\) "Zahlen" (wir nehmen hier mal Zahlen als Elemente von \(A\) an) in deiner Relation enthalten sein, jeweils eine vorne und eine hinten in insgesamt \(n\) Paaren der Form \((a,b)\). Wenn du aber \(2n\) verschiedene Zahlen nimmst, dann kommt nix neues dazu, weil du nirgends "kleben" kannst, du hast ja keine gleichen Zahlen. 

"Schlimmer" wird es, wenn du viel kleben kannst, aber eben auch viel fehlt, zum Beispiel:
$$R=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),...(n,n+1)\}$$

In diesem Fall bekommst du \(n\) Paare, in denen die \(1\) vorne steht, \(n-1\) viele, in denen die \(2\) vorne steht und so weiter bis \(n\) vorne steht, da hast du nach wie vor nur \(1\). Das macht also insgesamt:

$$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+n}{2}$$

Für diesen Fall bleibst du also immer unterhalb von \(n^2\), weil \(n^2\geq n\) gilt, wenn \(n\geq1\) ist. 

Genau kannst du es wahrscheinlich mit Induktion über die Anzahl der Elemente machen! :)