Hallo!

Ja, Du liegst richtig, hier nochmal der formale Rechenweg:

\(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-0}{x-0} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{bx}{x} = \frac{ax}{x} \quad\Longleftrightarrow\quad a = b \) (wichtig ist hierbei, dass \(\displaystyle x\) lediglich unendlich nahe gegen \(\displaystyle 0\) läuft, aber nie verschwindet, daher muss man hier nicht \(\displaystyle x\neq 0\) schreiben).

Anschaulich hätte man für \(\displaystyle a\neq b\) einen Knick im Punkt \(\displaystyle (0,0)\) – klassisches Beispiel hierfür wäre die Betragfunktion mit \(\displaystyle b = 1\) und \(\displaystyle a = -1\).

Hier definiere ich nochmal \(\displaystyle f\):

\(\displaystyle f(x) := \begin{cases}bx, & x > 0 \\ ax, & \mathrm{sonst}\end{cases}\).

Gruß.