Hallo,

gegeben sei die Potenzreihe \(\sum_{k=0}^{\infty}{\underbrace{3^k(x-1)^k}_{=:a_k}}\). Ich verwende das Wurzelkriterium. Also:

\(\sqrt[k]{\left \lvert a_k\right \rvert}=\sqrt[k]{\left \lvert 3^k(x-1)^k\right \rvert}=\sqrt[k]{3^k\cdot |(x-1)|^k}=3|x-1|<1\)

Nun musst du \(3|x-1|<1\) nach \(x\) auflösen. Das geht wie folgt:

\(3|x-1|<1 \Leftrightarrow |x-1|<\frac{1}{3} \Longleftrightarrow -\frac{1}{3}<x-1< \frac{1}{3}\)

\(\frac{2}{3}<x<\frac{4}{3}\)

Du setzt nun jeweils \(x=2/3\) und \(x=4/3\) ein und überprüfst die Reihe dort auf Konvergenz.

Hierbei diviergiert die Reihe für \(x=2/3\), da:

\(\sum_{k=0}^{\infty}{}3^k\left(\frac{2}{3}-1\right)^k=\sum_{k=0}^{\infty}{}3^k\left(-\frac{1}{3}\right)^k=\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^k}\)

Für \(x=4/3\) folgt

\(\sum_{k=0}^{\infty}{}3^k\left(\frac{4}{3}-1\right)^k=\sum_{k=0}^{\infty}{}3^k\left(\frac{1}{3}\right)^k=\sum_{k=0}^{\infty}{1^k}=\sum_{k=0}^{\infty}{1}=\infty\)